第39练平面向量的应用[基础保分练]1．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是________．2．点P是△ABC所在平面上一点，且满足|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，则△ABC的形状是________三角形．3．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，船的实际航程为________km.4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD的形状为________．5．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为________J.6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为________．7．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，则O为△ABC的________．8．(2019·镇江模拟)△ABC所在平面上一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为________．9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若BD＝xBA＋yBC(x，y∈R)，则x－y＝________.10．已知P为锐角△ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则|PA＋3PC|的最小值为________．[能力提升练]1．已知AB，AC是非零向量且满足(AB－2AC)⊥AB，(AC－2AB)⊥AC，则△ABC的形状是________三角形．2．(2018·扬州考试)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是________．3．在△ABC中，已知·BC＝0，且·＝，则△ABC是________三角形．4．设点G为△ABC的重心，BG·CG＝0，且|BC|＝，则△ABC面积的最大值是________．5．(2019·盐城模拟)在△ABC中，tanA＝－3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有PA·PC≥P0A·P0C，则线段BC的长为________．6．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．答案精析基础保分练1．[5,5]2.直角3.64.菱形5．246.7.外心8.1∶39．－1解析如图，过D作BC的垂线，交BC的延长线于M，设∠BAC＝α，则∠ACD＝2α，∠ACB＝90°－α，∴∠DCM＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α，∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴＝＝k(k为相似比)．又BD＝xBA＋yBC＝MD＋BM，∴x＝＝k，y＝＝＝k＋1，∴x－y＝－1.10．6解析PA＋3PC＝PA＋3(PA＋AC)＝4PA＋3AC，(4PA＋3AC)2＝16|PA|2＋9|AC|2＋24|PA||AC|cos120°＝16|PA|2－48|PA|＋144，∴当|PA|＝时，(4PA＋3AC)2最小为108.故|PA＋3PC|min＝6.能力提升练1．等腰2.3.等腰直角4.解析由BG·CG＝0，可得BG⊥CG，取BC的中点D，则GD＝，GA＝，设GC＝2x，GB＝2y，所以三角形的面积为S＝2x·2y·＋2x··sin∠CGA·＋2y··sin∠BGA·，且∠CGA＋∠BGA＝270°，所以S＝2xy＋xsin∠CGA－ycos∠CGA＝2xy＋sin(∠CGA＋φ)．而BG⊥CG，故在Rt△BCG中4x2＋4y2＝2，即x2＋y2＝，所以S＝2xy＋sin(∠CGA＋φ)．又x2＋y2＝≥2xy，所以Smax＝2xy＋sin(∠CGA＋φ)≤＋1＝.5.解析取AC的中点M，则PA·PC＝(PM＋MA)·(PM＋MC)＝PM2－MC2，所以当MP⊥BC时，PA·PC取得最小值，因为恒有PA·PC≥P0A·P0C，所以MP0⊥BC，过A作AN⊥BC于N.设AN＝h，CP0＝m，则NP0＝m，BN＝m，因为S△ABC＝1，所以h·3m＝1；因为tanA＝－3，所以tan(∠BAN＋∠CAN)＝＝－3，所以＝1(舍负)，因此m＝，BC＝3m＝.6.＋1解析由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(1,0)，b＝(0,1)．设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，可得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上．故圆心到点O的距离为，所以|c|max＝＋1.
