第39练平面向量的应用[基础保分练]1.已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是________.2.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为________三角形.3.一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为________km/h.4.在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD的形状为________.5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为________N.6.若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为________.7.设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，则O为△ABC的________.8.(2019·镇江模拟)△ABC所在平面上一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为________.9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若BD＝xBA＋yBC(x，y∈R)，则x－y＝________.10.已知P为锐角△ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则|PA＋3PC|的最小值为________.[能力提升练]1.平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·CB＝0，则△ABC的形状为________三角形.2.(2018·扬州考试)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是________.3.已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为________三角形.4.设点G为△ABC的重心，BG·CG＝0，且|BC|＝，则△ABC面积的最大值是________.5.在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，∠B＝30°，点E，F分别在边BC，CD上(不与端点重合)，且＝，则AE·AF的取值范围为________.6.设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝________.答案精析基础保分练1.[5,5]2.等腰3.24.菱形5.56.7.外心解析若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，可得CB·(OB＋OC)＝AC·(OC＋OA)＝BA·(OA＋OB)＝0，即(OB－OC)·(OB＋OC)＝(OC－OA)·(OC＋OA)＝(OA－OB)·(OA＋OB)＝0，即有|OA|2＝|OB|2＝|OC|2，则|OA|＝|OB|＝|OC|，故O为△ABC的外心.8.1∶3解析由已知得，PA＋PB＋PC＝AB＝AP＋PB，解得PC＝2AP，所以|PC|＝2|AP|，作图如图所示：设点B到线段AC的距离是h，所以＝＝＝＝＝.9.－1解析如图，过D作BC的垂线，交BC的延长线于M，设∠BAC＝α，则∠ACD＝2α，∠ACB＝90°－α，∴∠DCM＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α，∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴＝＝k(k为相似比).又BD＝xBA＋yBC＝MD＋BM，∴x＝＝k，y＝＝＝k＋1，∴x－y＝－1.10.6解析PA＋3PC＝PA＋3(PA＋AC)＝4PA＋3AC，(4PA＋3AC)2＝16|PA|2＋9|AC|2＋24|PA||AC|cos120°＝16|PA|2－48|PA|＋144，∴当|PA|＝时，(4PA＋3AC)2最小为108.故|PA＋3PC|min＝6.能力提升练1.等腰2.解析∵AB1⊥AB2，∴AB1·AB2＝(OB1－OA)·(OB2－OA)＝OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＋OA2＝0，∴OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＝－OA2，∵AP＝AB1＋AB2，∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA，∴OP－OB1＝OB2－OA，∴OP＝OB1＋OB2－OA，∵|OB1|＝|OB2|＝1，∴OP2＝1＋1＋OA2＋2(OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2)＝2＋OA2＋2(－OA2)＝2－OA2，∵|OP|<，∴0≤|OP|2<，∴0≤2－OA2<，∴
