1/142018年考研数学三真题及答案一、选择题1.下列函数中,在0x处不可导的是().sinAfxxx.sinBfxxx.?Cfxcosx.cosDfxx答案:D解析:方法一:000sin0limlimlimsin0,xxxxxxfxfxxxxA可导000sin0limlimlimsin0,xxxxxxfxfxxxxB可导20001cos102limlimlim0,xxxxxfxfxxCx可导0001cos102limlimlimxxxxxffxxxDx不存在,不可导应选D.方法二:因为,(1)0fcosxfx0001cos102limlimlimxxxxxfxfxxx不存在fx在0x处不可导,选D对:?Afxxsinx在0x处可导对32:~?Bfxxxxg在0x处可导对():xxCfcos在0x处可导.2/142.设函数fx在[0,1]上二阶可导,且100,fxdx则1'0,02Afxf当时1''0,02Bfxf当时1'0,02Cfxf当时1''0,02Dfxf当时答案D【解析】将函数fx在12处展开可得222111000''1111',22222''1111111''',22222222ffxffxxffxdxffxxdxffxdx故当''()0fx时,1011.0.22fxdxff从而有选D。3.设2222222211,,1cos1xxxMdxNdxKxdxxe,则A.?.MNKB..MKNC..KMND..KNM答案:C解析:2222222221211,11xxMdxdxdxxx221xxNdxe,因为1xex所以11xxe221cos,1cos1.Kxdxx即111cosxxxe所以由定积分的比较性质KMN,应选C.3/144.设某产品的成本函数CQ可导,其中Q为产量,若产量为0Q时平均成本最小,则()A0'0CQB00'CQCQC.000'CQQCQD.000'QCQCQ答案D【解析】平均成本2',CQdCQCQQCQCQQdQQ,由于CQ在0QQ处取最小值,可知00'0.QCQ故选(D).5.下列矩阵中,与矩阵110011001相似的为111.011001A101.011001B111.010001C101.010001D答案:A解析:令110010001P则1110010001P1110111110010011010001001001120110110011010011001001001PAPQ选项为A6.设,AB为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则4/14.?ArAABrA.?BrABArA.?,CrABmaxrArB.?TTDrABrAB答案:A解析:易知选项C错对于选项B举反例:取11001112AB1则001100,,331133BAABA7.设随机变量X的概率密度fx满足11fxfx，且200.6fxdx，则0______PX．(A)0.2；(B)0.3；(C)0.4；(D)0.6．解由11fxfx知，概率密度fx关于1x对称，故02PXPX，且00221PXPXPX，由于20020.6PXfxdx，所以200.4PX，即00.2PX，故选项A正确．8.设12,,,nXXXK为取自于总体2,XN:的简单随机样本，令niiXnX11，2111()1niiSXXn，2211()niiSXXn，则下列选项正确的是______．(A)nXtnS:；(B)1nXtnS:；(C)*nXtnS:；(D)*1nXtnS:．5/14解由于~0,1XNn，)1(~)()1(221222nXXSnnii，且Xn与22(1)nS相互独立，由t分布的定义，得~(1)nXXtnSSn，故选项B正确．二、填空题9.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为__。答案43yx【解析】函数fx的定义域为232240,,'2,''2,'''yxyyxxx。令''=0y,解得x=1,而'''10,y故点(1,1)为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率'14,y故切线方程为43yx。10.2arcsin1__.xxee222222222222arcsin11,1=arcsin1arcsin1111arcsin1tansin111arcsin11xxxxxxxeeeCttdttttdttttttdtttCteeeC答案【解析】令t=e则原式11.差分方程25xxyy的通解______.【答案】125xxyc6/142+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyyycyccccyc【解析】由于，故原差分方程可化为即。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c为任意常数。12.函数x满足20,xxxxxxxx且02,则1__.答案12.e【解析】2,,'=2xxxxxxxxx由可知可微且。这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为2;xxce再由02,可得2c。故22,12xxee。13.设A为3阶矩阵,123,,为线性无关的向量组,若112322332322,AAA，,可得123123200,,,,111121A。由于123,,线性无关,故200111121A:=B，从而有相同的特征值。因2200111223,121EB故A的实特征值为2。14.设随机事件,,ABC相互独立，且7/141()()()2PAPBPC，则()______PACAB．解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得()()()()()()()()()11122.111132222PACABPACABPABPACPAPBPABPAPCPAPBPAPB三、解答题15.已知实数,ab,满足1lim2,xxaxbex求a,b。答案1,1ab【解析】011,lim2,ttabtetxt令=可得0000111limlimlimlimttttttttabteaeaebebttt其中可知0011lim2,lim,1ttttaeaebatt而要使得存在必须有。01,lim=1=2,1.,1,1ttaebbtab此时有故综上。16.设平面区域D由曲线231yx与直线3yx及y轴围成。计算二重积...
