专题限时集训(十)[第10讲数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，则S5的值是()A.B．5C．－D．－52．如果等比数列{an}中，a3·a4·a5·a6·a7＝4，那么a5＝()A．2B.C．±2D．±3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＝25π，则tana8的值是()A.B．－C．±D．－4．已知数列{an}满足a1＝，且对任意的正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn等于()A．2－n－1B．2－nC．2－D．2－5．已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn是nan与an的等差中项，则an等于()A．n2－nB.C．nD．n＋16．设f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为()A.B.C.D.7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．218．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且ON＝a15OM＋a6OP(直线MP不过点O)，则S20等于()A．10B．15C．20D．409．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn>0时，n＝()A．20B．17C．19D．2110．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________．11．定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一个常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝2，公积为5，则这个数列的前n项和Sn的计算公式为________．12．设Sn为数列{an}的前n项和，把称为数列{an}的“优化和”，现有一个共有2012项的数列：a1，a2，a3，…，a2012，若其“优化和”为2013，则有2013项的数列：2，a1，a2，a3，…，a2012的“优化和”为________．13．将函数f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．14．已知数列{an}有a1＝a，a2＝p(常数p>0)，对任意的正整数n，Sn＝a1＋a2＋…＋an，并有Sn满足Sn＝.(1)求a的值并证明数列{an}为等差数列；(2)令pn＝＋，是否存在正整数M，使不等式p1＋p2＋…＋pn－2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．15．已知数列{an}的前n项和为Sn，点An，(n∈N*)总在直线y＝x＋上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，试问数列{bn}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．专题限时集训(十)【基础演练】1．A[解析]依题意，由根与系数的关系得a2＋a4＝1，所以S5＝＝＝.故选A.2．B[解析]依据等比数列通项公式的性质，得a3·a7＝a4·a6＝a，所以a＝2，求得a5＝.故选B.3．B[解析]依题意得S15＝＝15a8＝25π，所以a8＝π，于是tana8＝tanπ＝－.故选B.4．D[解析]令m＝1得an＋1＝a1·an，即＝a1＝，可知数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列．于是Sn＝＝2×＝2－.故选D.【提升训练】5．C[解析]依题意得2Sn＝nan＋an＝(n＋1)an，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，整理得＝，所以an＝··…··a1＝··…··1＝n.故选C.6．C[解析]依题意得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即an＋1＝an·a1＝an，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝＝1－，所以Sn∈.故选C.7．C[解析]设等差数列{an}公差为d，则有(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d＝99－105，则d＝－2，易得a1＝39，an＝41－2n，令an>0得n<20.5，即在数列{an}中，前20项均为正值，自第21项起以后各项均为负，因此当n＝20时，Sn取得最大值．8．A[解析]依题意得a15＋a6＝1，由等差数列性质知a15＋a6＝a1＋a20，所以S20＝＝10(a15＋a6)＝10.故选A.9．C[解析]由a9＋3a11<0得2a10＋2a11<0，即a10＋a11<0，又a10·a11<0，则a10与a11异号，因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是一个递减数列，则a1...
