前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(16/15，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，102d1uuu（*）令ut1，则21tudt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.解:令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，AAxAxA24)2(28d)23(202,解得34A。因此3103)(2xxf。3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.解:因平面022zyx的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00yx处的法向量为)1),,(),,((0000yxzyxzyx，故)1),,(),,((0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行，因此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx，即1,200yx，又5)1,2(),(00zyxz，于是曲面022zyx在)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122zyx。4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.解:方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即))(1(1yfxy，因此二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.解:因故因此三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.解:由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000xxfxxffxxx因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，因此，当0x时，xuufxxg0d)(1)(，故当0x时，xxfuufxxgx)(d)(1)(02，这表明)(xg在0x处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.证:因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin而D关于x和y是对称的，即知因此（2）因故由知即2sinsin25ddLyyxyeyxe五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则xxeeyy212和xeyy13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0cyyby的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyby的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111xfyyy和xxxexeey212，xxxexeey2142知，1112)(yyyxf)(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexe二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线cbxaxyln22过原点，故1c，于是即而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(aaaaV，得即因此45a,23b,1c.七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.解xnnnexxuxu1)()(，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nCeunen知，0C，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0x，得CS)0(0，因此级数1)(nnxu的和八、（10分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.解令2)(txtf，则因当10x，(0,)t时，2()2ln0tfttxx，故xttextf1ln22)(在(0,)上严格单调减。因此即000()d()1()dnfttfnftt，又200()nnnfnx，21ln1d1ln1ddd)(001ln00222xtextetxttftxtt，所以，当1x时,与02nnx等价的无穷大量是x121。2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn。（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。解：（1）22...
