数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.（2）数列的第n项na与项数n之间的函数关系，可以用一个公式()nafn来表示，那么na就是数列的通项公式.注：①并非所有的数列都有通项公式；②有的数列可能有不同形式的通项公式；③数列的通项就是一种特殊的函数关系式；④注意区别数列的通项公式和递推公式.题型归纳及思路提示题型1数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用nS与na的关系求解.观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.利用递推公式求通项公式①叠加法：形如1()nnaafn的解析式，可利用递推多式相加法求得na②叠乘法：形如1()nnafna(0)na*(2,)nnN的解析式，可用递推多式相乘求得na③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.利用nS与na的关系求解形如1(,)()nnnfSSga的关系，求其通项公式，可依据1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN，求出na观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n或者1(1)n部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方2n、2n与(1)n有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374,,,,,,;751381911L（2）2,22,222，L，222L；（3）数列na中各项为：12,1122,111222，L，{111222nnLL123个个，L分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.解析：（1）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以(1)n；②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，L，则2(1)34nnnan.解法一：1212021021022(101010)1(110)22(101)1109nnnnnnnaLLgg解法二：原数列2229,99,999999nLL123个，即2=(10-1)9nna（3）121=(10-1)10+(10-1)=(10-1)(10+2)999nnnnnnag变式1将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n行（3n）从左到右的第3个数为__________12345678910LLLLLLLLL变式2观察下列等式：211122niinn，2321111326niinnn34321111424niinnn45431111152330niinnnn5654211151621212niinnnn67653111111722642niinnnnnLLLL1111101nkkkkkkkiiananananaL，可以推测，当*2()kkN时，111kak，12ka，1_____ka，2_____ka利用递推公式求通项公式叠加法数列有形如1()nnaafn的递推公式，且(1)(2)()fffnL的和可求，则变形为1()nnaafn，利用叠加法求和例6.21已知数列na满足132nnaan*()nN，且12a，求数列na的通项公式.分析：式子132nnaan*()nN是形如1()nnaafn的形式，故利用叠加法求和.解析：132nnaan*()nN可得131nnaan，（2n）1234nnaan，LLL215aa相加可得：232nnna（2n），且12a也满足上式，故232nnna*()nN变式1已知数列na中，12a，12nnnaa*()nN，求数列na的通项公式变式2已知数列na中，12a，11ln(1)nnaan*()nN，则na____A、2lnnB、2(1)lnnnC、2lnnnD、1lnnn变式3已知数列na中，11a，22a，且11(1)nnnaqaqa，（2n，0q）（1）设1nnnbaa*()nN，证明：nb是等比数列.（2）求数列na的通项公式变式4数列na中，12a，1nnaacn（c为常数）*()nN，且123,,aaa成公比不为1的等比数列.（1）求c的值；（2）求数列na的通项公式2、叠乘法数列有形如1()nnafnag的递推公式，且(1)(2)()fffnggLg的积可求，则将递推公式变形为1()nnafna，利用叠乘法求出通项公式na例6.22已知数列na中，11a，12(1)nnnana，则数列na的通项公式为（）A、2nnB、12nnC、21nnD、12nn分析：数列的递推公式是形如1()nnafna的形式，故可以利用叠乘法求解.解析：由12(1)nnnana变形得112nnanan，从而12(1)nnanan，L，2122aa，故1132112211132()212212nn...
