数列求和专题训练--方法归纳VIP免费

1数列求和专题方法归纳方法1：分组转化法求和1．已知{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，⋯，3n＋2n－1，则Sn＝________.2．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋⋯＋b10的值．方法2裂项相消法求和3.设数列{}an满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为______．4.Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3.①求{an}的通项公式；②设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．5．若已知数列的前四项是112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，则数列的前n项和为________．6．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.（1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.7．已知数列{an}各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．(1)设bn＝1an，求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列ann＋1的前n项和Sn.2方法3：错位相减法求和8．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(bn＞0)，且a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn为数列{anbn}的前n项和，求Tn.9．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；10.已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列221{}nnab的前n项和()nN.4.数列与不等式的交汇问题11．设各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明对一切正整数n，有11221111(1)(1)(1)3nnaaaaaa。12．已知等比数列{an}是递增数列，且a2a5＝32，a3＋a4＝12，数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝2bn＋2an(n∈N*)．(1)证明：数列bnan是等差数列；(2)若对任意n∈N*，不等式(n＋2)bn＋1≥λbn总成立，求实数λ的最大值．3数列求和专题方法归纳参考答案1.【解析】由题意知an＝3n＋2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋⋯＋an＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋⋯＋3n＋2n－1＝3×(1＋2＋3＋⋯＋n)＋21＋22＋⋯＋2n－n＝3×1＋n×n2＋21－2n1－2－n＝3n2＋n2＋2n＋1－2.2.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋d＝4，a1＋3d＋a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋⋯＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋⋯＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋⋯＋210)＋(1＋2＋3＋⋯＋10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.3.【解析】(1)由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，⋯，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋⋯＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又 a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)． 当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．∴1an＝2n2＋n＝21n－1n＋1.∴S10＝2×11－12＋12－13＋⋯＋110－111＝2×1－111＝2011.4.解：①由a2n＋2an＝4Sn＋3，(1)可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.(2)由(2)－(1)，得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.②由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则4Tn＝b1＋b2＋⋯＋bn＝1213－15＋15－17＋⋯＋12n＋1－12n＋3＝n32n＋3.5.【解析】由前四项知数列{an}的通项公式为an＝1n2＋2n，由1n2＋2n＝121n－1n＋2知，Sn＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an－1＋an＝121－13＋12－14＋13－15＋⋯＋1n－2－1n1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.6.【解】(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－103≤d≤－52.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝113－3n10－3n＝13110－3n－113－...