完整word版,高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程)VIP免费

1不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程（1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0bacbyax①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程cbacbyax,,,为整数.有整数解的充分必要条件是cba|),(.定理二：若00,,1),(yxba且为①之一解，则方程①全部解为atyybtxx00,.（t为整数）。（2）沛尔)(pell方程形如122dyx（*dN，d不是完全平方数）的方程称为沛尔方程.能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11yx为该方程的正整数解),(yx中使dyx最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]21[()()]2nnnnnnxxdyxdyyxdyxdyd（1,2,3,nL）给出.①只要有解),(11yx，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.②nnyx,满足的关系：11()nnnxydxyd；11211222nnnnnnxxxxyxyy，（3）勾股方程222zyx这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(yx的解，此时易知zyx,,实际上两两互素.这种zyx,,两两互素的正整数解),,(zyx称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出yx,一奇一偶，无妨设y为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。定理三：方程222zyx满足1),(yx，2|y的全部正整数解),,(zyx可表为2222,2,bazabybax，其中，ba,是满足baba,,0一奇一偶，且21),(ba的任意整数.4．不定方程ztxy这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设azx),(，则adzacx,，其中1),(dc，故1),(,,dcdtcyadtacy因即，所以bctbtyyd则设,,|.因此方程ztxy的正整数解可表示为dcbabctadzbdyacx,,,.,,,都是正整数，且1),(dc.反过来，易知上述给出的tzyx,,,都是解.也可采用如下便于记忆的推导：设dcdcytzx这里,是既约分数，即1),(dc.由于zx约分后得出dc，故adzacx,，同理.,abycbt2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法；5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个）7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法.注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例：证明：方程442xyz无正整数解。证明：假设442xyz存在正整数解，其中z最小的解记为0z。因为22222xyz，根据勾股方程的通解公式有2222220,2,xabyabzab，其中,ab一奇一偶，,1ab。从222xab可以得到a为奇数，b为偶数，令2bs，224yabas，其中,1as，所以22,,(,)1atsqtq。由222xab得2444xtq，即2444xqt，又可以通过勾股方程的通解公式222222,22,,(,)1xlmqlmtlmlm，注意到2qlm，所以2200,llmm，24400tlm，而420ztbt，与0z的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。赛题精讲例1．（1）求不定方程3710725xy的所有解；（2）求不定方程719213xy的所有解。3解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数,st，使得371071st。如10723733,371334,3481，依次反代即可得到一个特解。（2）213197yx，可以取353027yxy，此时可以得到2y。从而得到一个特解。注：这个两个方法是基本方法。例2．求所有满足方程81517xyz的正整数解解析：首先从同余的角度可以发现y必须为偶数，81517xyz，又15y的个位数必须为5，而8x的个位数为2，4，或6，17z的个位数为3，9，1，所以0,2(mod4)x，对应的0,2(mod4)z。这样可以令2yk，2zl，可以得到2281715(1715)(1715)xlklklk，注意到17,15lk均为奇数，两个的和和差必定是一个单偶，一个双偶，从而311715217152lklkx，目标集中于17152lk，观察有解,1,1lk。当2k时，两边取模17可以得到(1)2mod9k矛盾。所以仅有解2,2,2例3．a为给定的一个整数，当a为何值时，方程31(1)yaxy有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。解：31(1)yaxy可以变形为333331(1)xyyxyaxy，这样333(1)|xyyxy，一个明确的事实31,1xyy，从而3(1)|1xyx。这样我们得到33(1)|1(1)|1(*)xyxxyy。不妨假设,yxyx两种情况。（1）yx3322111(1)11yyayayyy，从这个代数式发现，2y，对1y...