知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积底高2从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化。比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样。这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们:面积相同三角形有无数多个不同的形状。在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等。②若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。③夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,ACD和BCD夹在一组平行线之间,且有公共底边CD那么ACDBCDSS;反之,如果ACDBCDSS,则可知直线AB平行于CD。ACDB等底等高【例1】如图,在ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形?EABDC【分析】3个,AEC、BED、DEC。【例2】如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积。HABECDFGGFDCEBAH【分析】连接BH、CH,AEHBEHAEEBSSQ同理,BFHCFHCGHDGHSSSS,,256228阴影长ABCDSS(平方厘米)【例3】如图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形?ABCEDF【分析】AEC、AFC、ABF。【例4】如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。FABCDEEDCBAF【分析】连结AF、CE,∴ADEACESS;CDFACFSS;又 AC与EF平行,ACEACFSS∴4ADECDFSS(平方厘米)。高相同,看底【例5】如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线长。(1)求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍?(2)求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?DCBA【分析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时,它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的高相等。于是:三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积12+4高2=8高三角形ADC的面积=4高2=2高所以,三角形ABC的面积是三角形ABD面积的43倍;三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。【例6】如图,三角形ABC中,2DCBD,3CEAE,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形ABC的面积是多少?ABECD【分析】 3CEAE,∴4ACAE,4ADCADESS,又 2DCBD,∴1.5BCDC,1.56120ABCADCADESSS(平方厘米)【例7】如图,在三角形ABC中,8BC厘米,高是6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?EFCBA【分析】 F是AC的中点,∴2ABCABFSS,同理2ABFBEFSS,∴486246BEFABCSS(平方厘米)【例8】如图,三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求:三角形DEF的面积。DAEBFC【分析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半242=12,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半122=6。三角形DEF的面积是三角形ADE面积的一半,所以三角形DEF的面积=62=3【例9】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,2AFCF,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米。平行四边形的面积是多少平方厘米?FEDCBA【分析】连结FB。三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍,而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的326倍。因此,平行四边形ABCD的面积为8648(平方厘米)。【例10】(2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级)如图,ABCE是一个平行四边形,ADE是一个直角三角形,它们组合成了梯形ABCD。如果这个梯形的上...