精品文档精品文档【极限】一、数列极限1）数列的单调性对于数列﹛xn﹜,如果有xn≤x1n（即x1≤x2≤····≤xn≤···）,n≥1，则称﹛xn﹜是单调增加的；若xn≥x1n，n≥1，则称﹛xn﹜是单调减少的。2）数列的有界性如果对于数列﹛xn﹜，存在正整数M，使得对每一个xn都满足nx≤M，则称数列﹛xn﹜是有界的；如果这样的数不存在，则称数列﹛xn﹜是无界的。例:﹛n1﹜,﹛﹙﹣1﹚1n﹜，﹛21nn﹜是有界的，﹛n2﹜是无界的3）数列的极限对于数列﹛xn﹜，如果当n∞时，xn无限的趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列﹛xn﹜以常数A为极限，或称数列﹛xn﹜收敛于A，记作：nxnlim＝A或xnA（当n∞时）否则称数列﹛xn﹜没有极限，如果数列﹛xn﹜没有极限，就称数列精品文档精品文档﹛xn﹜是发散的。4）数列极限的性质定理1：若数列﹛xn﹜收敛，则其极限值必定唯一定理2：若数列﹛xn﹜收敛，则它必定有界（反之不对！！）5）数列极限的存在准则定理3：（两边夹定理）若数列﹛xn﹜，﹛yn﹜,﹛zn﹜满足下列条件：①yn≤xn≤zn，n＝1,2，····②limnxn＝A，nznlim＝A那么，数列﹛xn﹜的极限存在，且nxnlim＝A定理4：若数列﹛xn﹜为单调有界数列，则nxnlim存在6）数列极限四则运算定理5：若nxnlim＝Anynlim＝B则①limn(nx±yn)＝limnnx±limnyn＝A±B②limn(nx·yn)＝limnnx·limnyn＝AB③若B≠0，则limnnnyx＝nnnnyxlimlim＝BA④对于任意常数a，limn﹙a·nx﹚＝aA精品文档精品文档二、函数的极限1）函数在一点处的极限①当x→x0时函数)(xf的极限如果当x无限的趋于x0时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x0时，函数f(x)的极限是A，记作：lim0xx)(xf＝A或)(xf→A(当x→x0时)②当x→x0时函数)(xf的左（或右）极限如果当x从x0的左边（或右边）无限的趋于x0时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x0时，函数)(xf的左极限（或右极限）是A，记作：lim0xx)(xf＝f（x0－0）＝A或lim0xx)(xf＝f（x0＋0）＝A定理6：lim0xx)(xf＝A的充要条件是：lim0xx)(xf＝lim0xx)(xf＝A2）x→∞时，函数的极限①当x→∞时，函数的极限如果当x→∞时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→∞时，函数)(xf的极限是A，记作：limx)(xf＝A或)(xf→A(当x→∞时)精品文档精品文档②当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数的极限如果当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数)(xf的极限是A，记作：limx)(xf＝A或limx)(xf＝A定理7：limx)(xf＝A的充要条件是：limx)(xf＝limx)(xf＝A3）函数极限的性质定理8：若lim0xx)(xf存在，则其极限值必定唯一定理9：设函数)(xf，g(x)，h(x)在点x0的某个领域内（x0可除外）满足条件：①)(xg≤)(xf≤)(xh②lim0xx)(xg＝lim0xx)(xh＝A,则lim0xx)(xf＝A（注：定理8和定理9，当x→∞时也成立）4）函数极限的运算法则定理10：若)(limxf＝A,)(limxg＝B,则①lim[)(xf±)(xg]＝)(limxf±)(limxg＝A±B②lim[)(xf·)(xg]＝)(limxf·)(limxg＝AB③当B≠0时，lim)()(xgxf＝)(lim)(limxgxf＝BA④)(limxCf＝C)(limxf精品文档精品文档三、无穷小量与无穷大量1）无穷小量（0，仅此一个数）如果x在某个变化过程中，)(xf的极限值为0，则称在该变化过程中，)(xf为无穷小量，记作：)(limxf＝0定理11：x在某个变化过程中，)(xf的极限值为A的充要条件：在x的同一变化过程中，Axf)(为无穷小量。2）无穷大量若果x在某个变化过程中，)(xf无限增大，则称在该变化过程中，)(xf为无穷大量，记作：)(limxf。如果)(limxf＝﹢∞，则称在该变化过程中，)(xf为正无穷大量。反之称为负无穷大量3）无穷小量与无穷大量的关系定理12：在x的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大量，则)(1xf为无穷小量。反之，如果)(xf为无穷小量，则)(1xf为无穷大量。4）无穷小量的基本性质①若为无穷小量，则﹣也是无穷小量②若，为无穷小量，则也为无穷小量③若为无穷小量，且M,则为无穷小量④若，为无穷小量，则为无穷小量注：无穷大量具有性质①②，不具有性质③④精品文档精品文档5）无穷小量比较设和是同一变化过程中的无穷小量①如果lim＝0，则称是比高阶的无...
