24分大题抢分练(四)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知E(m,0)为抛物线y2＝2x内一定点，过点E作两条不同的直线交抛物线于点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点．(1)当AB⊥CD时，求△EMN的面积的最小值；(2)若m＝2且kAB＋kCD＝2，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标．[解](1)设直线AB的斜率kAB＝k(k≠0)，则直线CD的斜率kCD＝－，直线AB的方程为y＝k(x－m)，直线CD的方程为y＝－(x－m)．由得k2x2－(2mk2＋2)x＋m2k2＝0，易知Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2m＋，x1x2＝m2，所以y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k－2mk＝.因为点M是线段AB的中点，所以M.同理可得N.所以|EM|＝，|EN|＝，所以S△EMN＝·|EM|·|EN|＝≥＝1，当且仅当k2＝，即k＝±1时取等号．所以当AB⊥CD时，△EMN的面积的最小值是1.(2)证明：由题意知，kAB＋kCD＝2，不妨设直线AB的斜率kAB＝n，则直线CD的斜率kCD＝2－n，由(1)可知当m＝2时，M点坐标为，同理可得N点坐标为，所以直线MN的方程是y－＝·，化简得y＝(x－2)＋.所以直线MN过定点.21．(12分)(2020·南通模拟)已知函数f(x)＝x－sinx－alnx－，a∈R.(1)当a＝时，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程；(2)当a＝0时，求函数g(x)＝f(x)－sinx在上的最大值；(3)若存在x1，x2∈(0，＋∞)，且x10在上恒成立，故g(x)在上单调递增，当x＝时，函数取得最大值1＋π.(3)证明：x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，则y′＝1－cosx≥0恒成立，即y＝x－sinx在x>0时，单调递增，故x－sinx>0，即x>sinx.∵f(x1)＝f(x2)，∴x1－sinx1－alnx1－π＝x2－sinx2－alnx2－π，∴a(lnx2－lnx1)＝x2－x1－(sinx2－sinx1)>(x2－x1)，∴2a>>0，令t＝，则t>1，下面证明>，即证明>，令h(t)＝lnt－，t>1，则h′(t)＝<0，故h(t)在(1，＋∞)上单调递减，h(t)，∴2a>>，∴x1x2<4a2.
