专题限时集训(七)函数的概念、图象与性质基本初等函数、函数与方程导数的简单应用1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝D[函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]2．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]D[ f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1B[法一： f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.法二： f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A.故选B.]4.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为()ABCDD[因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.令x＝π，则f(x)＝＝＞0，排除选项B，C.故选D.]5．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|C[取a＝2，b＝1，满足a＞b，但ln(a－b)＝0，则A错，排除A；由9＝32＞31＝3，知B错，排除B；取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但|1|＜|－2|，则D错，排除D；因为幂函数y＝x3是增函数，a＞b，所以a3＞b3，即a3－b3>0，C正确．故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)C[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]7．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1A[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)·e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.]8．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－B.C.D．1C[法一：(换元法)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数． f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.故选C.法二：(等价转化法)f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.]9．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5zD[令t＝2x＝3y＝5z， x，y，z为正数，∴t＞1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝＞0，∴2x＞3y.又 2x－5z＝－＝＝＜0，∴2x＜5z，∴3y＜...
