第一节数学期望-仲恺农业工程学院VIP免费

第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共4页概率与统计课程教案授课题目（教学章、节或主题）：第四章第一节数学期望教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：理解随机变量的数学期望的概念和性质，并会根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望，掌握常用分布的数学期望教学重点及难点：根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望课时安排：3课时授课方式：讲授教学基本内容：离散型随机变量的数学期望例1某年级有50名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，16岁的有46人，则该年级学生的平均年龄为(17×2+18×2+16×46)50=17×250+18×250+16×4650=16.2事实上我们在计算中是用频率为权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下：定义1设离散型随机变量X的分布律为P(Xk=xk)=pk(k=1，2，…),若级数∑k=1∞xkpk绝对收敛，则称其为随机变量X的数学期望(Mathematicalexpectation)或均值(Average)．记为E(X)=∑k=1∞xkpk．若级数∑k=1∞|xkpk|发散，则称随机变量X的数学期望不存在．例2一批产品有一二三等品及废品4种，所占比例分别为60%,20%,10%,10%，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价．Solution设X为任取一只产品的出厂价,X的分布律为:X64.840p0.60.20.10.1平均出厂价为第2页共4页第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共4页E(X)=6×0.6+4.8×0.2+4×0.1+0×0.1=4.96(元)例3设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求它的数学期望．Solution由于pk=P{X=k}=λkk!e−λ，k=1,2,…因而E(X)=∑k=1∞kpk=∑k=1∞kλkk!e−λ¿∑k=1∞λk(k−1)!e−λ=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!¿λe−λeλ=λ2.连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X的分布密度函数为f(x)，若积分∫−∞+∞xf(x)dx绝对收敛，则称其为X的数学期望或均值．记为E(X)，E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx．若积分E(X)=∫−∞+∞|xf(x)|dx发散，则称随机变量X的数学期望不存在．例3设随机变量X服从参数为θ(θ>0)的指数分布，求E(X)．Solution由于指数分布的密度函数为f(x)={1θe−xθ,x>00,x≤0因而E(X)=∫0+∞xf(x)dx=∫0+∞1θxe−x/θdx¿−xe−x/θ|0+∞+∫0+∞e−x/θdx¿0−θe−x/θ|0+∞=θ.例4设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布，求E(X)．第3页共4页第2页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共4页Solution由于均匀分布的密度函数为f(x)={1b−a,a