第3讲函数的奇偶性及周期性[基础题组练]1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(∞－，0)上单调性也相同的是()A．y＝－B．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(∞－，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．2．(2019·贵阳第一学期检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－4解析：选C.根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3log22＝－2.故选C.3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：选A.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即bx＝－bx，得b＝0.所以g(x)＝2ax3＋bx2＋9x＝2ax3＋9x，g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax2＋9x)＝－g(x)．所以g(x)为奇函数．故选A.4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为()A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．5．(2019·山西八校第一次联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝.答案：6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.答案：－17．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．解：(1)定义域要求≥0，所以－10时，f(x)＝.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)<－.解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，所以x∈(0，2)．当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，所以不等式的解集是(∞－，－2)∪(0，2)．[综合题组练]1．已知偶函数f(x)在区间[0，∞＋)上单调递增，则满足f(2x－1)
