第10讲函数与方程[基础题组练]1．(2019·福州期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.2．函数f(x)＝x3－x2－1的零点所在的区间可以是()A．(0，1)B．(－1，0)C．(1，2)D．(2，3)解析：选C.函数f(x)＝x3－x2－1是连续函数．因为f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－4－1＝3>0，所以f(1)f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可以是(1，2)．故选C.3．(2019·辽宁大连模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．1B．3C．2D．4解析：选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.4．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(∞－，－1)B．(∞－，0)C．(－1，0)D．[－1，0)解析：选D.当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，即a∈[－1，0)，故选D.5．(2019·河北石家庄模拟)若函数f(x)＝m＋的零点是－2，则实数m＝________．解析：依题意有f(－2)＝m＋＝0，解得m＝－9.答案：－96．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos(3x＋)在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案：37．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
时，须使即解得a≥1，所以a的取值范围是[1，∞＋)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·郑州市第一次质量测试)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(0，1]B．[1，∞＋)C．(0，1)D．(∞－，1]解析：选A.画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(∞－，0]和(0，∞＋)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，00)，若当02，且a＋2a<2，即
