压轴专题(二)第20“题解答题圆锥曲线的综合”问题的抢分策略解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：①直线与圆锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解．[师说考点]圆锥曲线中最值、范围问题的求解方法(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再利用基本不等式或单调性求这个函数的最值，这就是代数法．[典例](2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[解]设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝，所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－)＝，得x1＝，故|AM|＝|x1＋|＝.由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.由2|AM|＝|AN|，得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝时上式不成立，因此t＝.t>3等价于＝<0，即<0.因此得或解得0，b>0)经过点P(2，1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解：(1) 双曲线－＝1过点(2，1)，∴－＝1.不妨设F为右焦点，则F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝2.∴所求双曲线的方程为－y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.∴x1＋x2＝，①x1x2＝.② ＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.而P∉AB，∴m＝－6k－3，从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k2＋36k＋10)>0恒成立，∴y＝kx－6k－3即为所求直线．∴P到AB的距离d＝＝.∴＝＝1≤＋2.∴d≤4，即点P到直线AB距离的最大值为4.[师说考点]圆锥曲线中定点与定值问题的求解思路(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y＝kx＋m(k存在的情形)．然后利用条件建立k与m的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的...
