二次函数与等腰直角三角形null1.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=（3）P点的坐标为：P1（，时，四边形AOPE面积最大，最大值为），P2（，），P3（.，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3）， OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+， -＜0，∴当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， △OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN， P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=∴P的坐标为（或，，）或（，）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=P的坐标为（或，；）或（，，）；）或（，）或（，综上所述，点P的坐标是：（）或（，）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2.定义：函数随函数是（1）函数．的图像经过点，，求它的伴随函数；的伴随函数是．如：函数的伴（2）函数的图像与它的伴随函数图像交于A，B两点（点A在点B的左侧），与伴随函数的对称轴交于点P，它的伴随函数图像交轴于C，D两点（点C在点D的左侧），伴随函数的图像经过点(-l，0)．设的面积为S．①函数与它的伴随函数图像交于点(________，________)，(________，________)（用含b的代数式表示）；②当伴随函数的对称轴在直线右侧时，求S与b之间的函数关系式；（3）函数图像与它的伴随函数图像交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与x轴交于点Q，点A关千它的伴随函数对称轴的对称点为点，当是等腰直角三角形时，直接写出c的值．【答案】（1）；当－1，【解析】【分析】（1）将点，代入，解得b、c的值，再代入伴随函数即可；（2）①图象交点即是解析式方程的公共解，联立两个解析式，转化成解一元二次；（2）①时，；；当时，；②当时，；（3）1，方程，即可解出两个交点的横坐标，将代入伴随函数，可得c与b的关系与其伴随函式，从而解得交点坐标；②由①中c、b的关系式解得函数数，分别求出点C、D、P的坐标，分三种情况讨论：坐标，进或，根据三角形面积公式解题；（3）分两种情况讨论：当b>0时与当b<0时，由抛物线的对称性解得而再讨论当【详解】或时，由直线AQ的斜率解题即可．中，解：（1）把（3，0），（0，－3）代入得解得.得，函数故答案为：，，；，或∴伴随函数是（2）①解，伴随函数经过，与它的伴随函数图象相交于点②由①知，伴随函数经过令y=0，得函数当当时，时，，函数的伴随函数是...，当时，（3）分两种情况讨论：当b>0时，点A关于对...
