一阶线性常系数双曲性方程的有限差分方法的研究2012.5.3VIP专享VIP免费

引言主要讨论双曲性方程及双曲性方程组的差分方法。从简单的一届线性双曲型方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质，然后推广到一届线性双曲性方程组。双曲方程与椭圆方程，抛物方程的重要区别，是双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。初值的函数性质（如间断，弱间断等）也沿特征传播，因而解一般无光滑性，迄今已发展许多逼近双曲方程的差分格式，这里只介绍常见的九种方法，讨论了各种求解方法，分析了其性质，最后对初边值问题及二维问题进行了讨论。1一阶线性常系数双曲型方程先考虑线性常系数方程,,t>0其中a为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。虽然（1.1）式非常简单，但是其差分格式的构造以及差分格式性质的讨论是讨论复杂的双曲型方程和方程组的基础。它的差分格式可以推广到变系数方程，方程组以及拟线性方程和方程组。对于方程（1.1）附以初始条件u(x,0)=u(x),在第一章中讨论了初值问题（1.1），（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征线是常数，并可表示为下面讨论双曲性方程的应风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendroff格式，Courant-Friedrichs-Lewy条件利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式，蛙跳格式，数值例子。1.1迎风格式迎风格式在实际计算中引起了普遍的重视，从而产生了很多好的方法和技巧。迎风各式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，（1.1）式的迎风各式是,a>0的截断误差和稳定性:,a>0/(两边乘于）,得+所以截断误差为迎风格式对一阶精度,对一阶精度.当时,故迎风格式相容.下面讨论迎风格式（1.4)的稳定性：先把差分格式变化为便于计算的形式0其中网格式令则=4当时原差分格式是稳定的。所以迎风格式（1.4）是条件稳定。根据Lax等价定理,迎风格式的收敛性条件为.迎风格式的截断误差和稳定性：,……两边除于,得……(两边乘于）得…+=…所以=…截断误差为迎风格式的稳定性：将方程改变便于计算的形式：令[]所以()21222122144当差分格式时（1.5）是稳定的例讨论差分格式的截断误差和稳定性解截断误因为所以[]+T(x,t)[]所以差分格式的截断误差为即差分格式是一阶精度的。讨论它的稳定性:先把差分格式改写为令并将其代入时有由于a<0所以取=0差分格式是绝对不稳定的。1.2Lax-Friedrichs格式讨论逼近对流方程（1.1）的一个中心差分格式的截断误差和稳定性Lax-Friedrichs格式的截断误差：…（两边乘于）得+因为所以T(x,t)差分格式（1.8）的截断误差为.讨论（1.8）稳定性先把差分格式（1.8）改写为（）0（其中）令并将其代入则有111（）所以差分格式（1.8）是绝对不稳定的。`1.3Lax-Wendroff格式前面讨论的应风格是和Lax-Friedrichs格式是一阶精度的差分格式。1960年Lax-Friedrichs构造出一个二阶精度的二层格式，这个差分格式在实际计算中得到了充分的重视。这个格式的构造与前面格式的推导有不同，采用Taylor级数展开之外，还用到微分方程本身。设是微分方程（1.1）的光滑解，将在点处做Taylor展开利用微分方程（1.1）有，把这两式代入前式有：再采用中心差商逼近上式中的导数项，有因此得到略去高阶项，可以得到如下的差分格式（1.14）的截断误差和稳定性截断误差：从差分格式的构造可以看出（1.14）是二阶精度的差分格式。其节点分布差分格式（1.14）称为Lax-Friedrichs格式。容易求出差分格式（1.14）的增长因子为1于是，如果满足条件那么有所以Lax-wendroff格式的稳定性条件为（1.15）式1.4Courant-Friedrichs--Lewy条件先分析差分格式的解依赖区域，然后从差分格式解的依赖区域和对流方程初值问题解的依赖区域的关系推导出差分格式收敛的一个必要条件。这个条Courant-Friedrichs--Lewy条件或称C,F,L条件，也又称为Courant条件。为确定起见，令微分方程（1.1）中的常数a>0.差分格式采用Lax-wendroff格式作为例子进行分析为了计算，要用到，，；而为计算这3个值，又要用到，，。如此递推下去，为了计算，就要用到，，…，，，见图（3.4）这说明计算仅依赖于微分方程（1.1）的初值（1.2）在区间上的网格点…...