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一题多解的应用 (2)VIP免费

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例题:已知tanα=,求sinα,cosα的值分析:因为题中有sinα、cosα、tanα,考虑他们之间的关系,最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题:法一根据同角三角函数关系式tanα==,且sina2α+cos2α=1。两式联立,得出:cos2α=,cosα=或者cosα=-;而sinα=或者sinα=-。分析:上面解方程组较难且繁琐,充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换,不解方程组,直接求解就简洁些:法二tanα=:α在第一、三象限在第一象限时:cos2α===cosα=sinα==而在第三象限时:cosa=-sina=-分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式,解此题更妙:法三tanα==↔=↔==±∴sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-法四当α为锐角时,由于tana=,在直角△ABC中,设α=A,a=3x,b=4x,则勾股定理,得,c=5xsinA==,cosA==∴sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-分析:用初中三角函数定义解此题,更应该尝试用三角函数高中的定义解此题,因为适用范围更广:法五当α为锐角时,如下图所示,在单位圆中,设α=∠AOT,因为tanα=,则T点坐标是T(1,),由勾股定理得:OT==∵△OMP∽△0AT∴==,OM=,MP=,p(,),∴sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-分析:圆和直线已经放入直角坐标系中,肯定可以尝试用解析几何法来解此题:解法六,如上图,易求出直线OT的方程和单位圆的方程y=x;x2+y2=1两式联立,得出:,或.T点坐标是P(-,-)P(,)∴sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-分析:先考虑sinα、cosα两者之间的关系,容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题:解法七,tanα==4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得,5sin(a+φ)=0,其中,sinφ=,cosφ=∴a+φ=kπ,k∈Zsina=sin(kπ-φ)=sinφα在第一、三象限∴容易求出sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-分析:仅仅从角度变换考虑,看一看,用二倍角公式是否能解决此问题:解法八,由二倍角公式,得,tanα==3tan2+8tan-3=0∴tan=-3,或tan=sinα=2sincos==2∴sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-

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