等比数列的性质VIP免费

.教学内容【知识结构】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示〔q≠0〕，即：1an=q〔q≠0〕an1“从第二项起〞与“前一项〞之比为常数(q)｛an｝成等比数列2an1=q〔nN,q≠0an隐含：任一项an0且q0“an≠0〞是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．3q=1时，{an}为常数2.等比数列的通项公式1:ana1qn1(a1q0)3.等比数列的通项公式2:anamqm1(a1q0)4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab〔a,b同号〕如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么GbG2abGab，aG反之，假设G2=ab,那么Gb，即a,G,b成等比数列aG∴a,G,b成等比数列G2=ab〔a·b≠0〕6．等比数列的性质：假设m+n=p+k，那么amanapak可编辑.在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？由定义得：ama1qm1ana1qn1apa1qp1aka1qk1amana1qmn2，apaka1qpk222那么amanapak7．等比数列的增减性：当q>1,a1>0或01,a1<0,或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列;【热身练习】求以下各等比数列的通项公式：1.a1=2,a3=82.a1=5,且2an1=3an3.a1=5,且解：1.a3a1q2q24q2an1nann1an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n2.qan13an23又：a15an5()n12a32an1,,na23an1n3.an1an12,ann1a12以上各式相乘得：an15a1nn可编辑.【例题精讲】例1an,bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：a1q1n1b1q2n1与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nnnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.n1anbna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列.例2：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：abcabbcca3,,abc也成等比数列33证明：由题设：b2=ac得：abc3abc33abb2bcabbcca2abcb()3333∴abcabbcca3,,abc也成等比数列33可编辑.例3(1){an}是等比数列，且an0,a2a42a3a5a4a625,求a3a5(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，a2,1,c2成等比数列，求解：(1) {an}是等比数列，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)2＝25,又an>0,∴a3＋a5＝5;(2) a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,ac22ac又a2,1,c2成等比数列,∴a2c2＝1,有ac＝1或ac＝－1,当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，∴ac＝－1,a2c2(ac)22ac6∴例4无穷数列10,10,10,10051525n15ac1.223ac,，求证：〔1〕这个数列成等比数列〔2〕这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的〔3〕这个数列的任意两项的积仍在这个数列中1，10a10证：〔1〕nn2105〔常数〕∴该数列成等比数列an1105n151〔2〕an1011n4101，即：anan5an51010105n15可编辑.〔3〕apaq10p1510q1510pq25， p,qN，∴pq2∴pq11且pq1N，∴10pq251n510，〔第pq1项〕例5设a,b,c,d均为非零实数，a2b2d22bacdb2c20，求证：a,b,c成等比数列且公比为d证一：关于d的二次方程a2b2d22bacdb2c20有实根，∴4b2ac4a2b2b2c20，∴b2ac022那么必有：b2ac0，即b2ac，∴a,b,c成等比数列设公比为q，那么baq，caq2代入a2a2q2d22aqaaq2da2q2a2q40 q21a20，即d22qdq20，即dq0证二： a2b2d22bacdb2c20∴a2d22abdb2b2d22bcdc20∴adbbdc...