专题突破（二）VIP专享VIP免费

菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质、解三角形的基础．近几年高考加大了对三角恒等变换的考查力度，同时多角度考查了三角函数的图象与性质．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2013·珠海模拟)已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋3cos2ωx－32(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)先将f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据周期求ω.(2)根据图象变换求g(x)，画出图象求k的取值范围．【规范解答】(1)f(x)＝12sin2ωx＋3×1＋cos2ωx2－32＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin(2ωx＋π3)，由题意知，最小正周期T＝2×π4＝π2，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）T＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin(4x＋π3)．(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y＝sin(4x－π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－π6)的图象．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）所以g(x)＝sin(2x－π6)．令2x－π6＝t， 0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k＝0，在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sint与y＝－k在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】1.解答本题时，利用三角恒等变换得到f(x)＝sin(2ωx＋π3)是解题的关键所在，应确保化简的准确性．如图所示，由正弦函数的图象可知，－12≤－k＜12或－k＝1.∴－12＜k≤12或k＝－1.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）2．研究方程解的个数问题，一般是利用图象法，而画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，可令t＝ωx＋φ，求出t的范围后，只画y＝Asint的图象．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2013·深圳模拟)已知函数f(x)＝3asinx＋bcos(x－π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0)．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间．【解】(1) 函数f(x)＝3asinx＋bcos(x－π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0)，∴3×32a＋b＝12，且－32a－32b＝0.解得：a＝1，b＝－1.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2)由(1)知：f(2x)＝3sin2x－cos(2x－π3)＝32sin2x－12cos2x＝sin(2x－π6)，函数f(2x)的周期T＝π.由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，解得2kπ－π3≤2x≤2kπ＋2π3，k∈Z.∴函数的增区间[kπ－π6，kπ＋π3]，k∈Z.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）近几年高考中，对解三角形的考查力度有所加强，对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，求解时应把条件转化为边的关系或角的关系，同时结合三角恒等变换进行化简求值．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cosA＝－24.(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋π3)的值．【思路点拨】(1)根据正弦定理求sinC，根据余弦定理求b.(2)先求cos2A，sin2A，再代入公式求cos(2A＋π3)．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【规范解答】(1)在△ABC中，由cosA＝－24，可得sinA＝144.又由asinA＝csinC及a＝2，c＝2，可得sinC＝74.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0.因为b>0，故解得b＝1.所以sinC＝74，b＝1.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2)由cosA＝－24，sinA＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sinAcosA＝－74.所以cos(2A＋π3)＝cos2Acosπ3－sin2Asinπ3＝－3＋218.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】1.本题中第(2)小题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角和的余弦公式．2．三角恒等变换有时贯穿解三角形的始终，有时相对独立，以解三角形的某一结论作为条件求解．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用...