高中数学圆锥曲线的方程与性质专题练习VIP免费

高中数学【圆锥曲线的方程与性质】专题练习1.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝()A.1C.22答案Bp解析抛物线的焦点坐标为2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝p2－0＋11＋（－1）22B.2D.4＝2，解得：p＝2(p＝－6舍去).2.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()7A.2C.7答案A解析设|PF2|＝m，|PF1|＝3m(m>0)，则|F1F2|＝m2＋9m2－2·3m·m·cos60°＝7m，|F1F2|7m7＝2m＝2.|PF1|－|PF2|13B.2D.13c2c所以C的离心率e＝a＝2a＝3.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.3答案x＝－2p解析法一由题意易得|OF|＝2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，p2p|OF||PF|3所以|PF|＝|FQ|，即p＝6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－2.pp法二由题意易得|OF|＝2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝2·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，3所以C的准线方程为x＝－2.x2y24.已知F1，F2为椭圆C：16＋4＝1的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.答案8x2y2解析法一由椭圆C：16＋4＝1可知|F1F2|＝43.由P，Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且|PQ|＝|F1F2|，得|PO|＝|QO|＝23(O为坐标原点)，x2y2所以P，Q既在椭圆16＋4＝1上，又在圆x2＋y2＝12上.不妨设点P在第一象限，x2y216＋4＝1，4623由得P，3，322x＋y＝12由对称性，得四边形PF1QF2的面积S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝11232×2·|F1F2|·yP＝2×2×43×3＝8.法二由椭圆方程知，a＝4，b＝2，则c＝|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64①.由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝48②.a2－b2＝23.由点P在椭圆上，得由①－②得|PF1|·|PF2|＝8，所以S四边形PF1QF2＝|PF1|·|PF2|＝8.法三由题意，得PF1⊥PF2，四边形PF1QF2是矩形，∴S△F1PF2＝b2·tan45°＝4，∴S四边形PF1QF2＝2S△F1PF2＝8.x2y25.已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D4两点，且|CD|＝3|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.解(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝a2－b2.b2b2不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为a，－a；C，D的纵2b2坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝a，|CD|＝4c.48b2cc2由|CD|＝3|AB|得4c＝3a，即3×a＝2－2a.cc1解得a＝－2(舍去)或a＝2.1所以C1的离心率为2.x2y2(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，故C1：4c2＋3c2＝1.x2y200设M(x0，y0)，则4c2＋3c2＝1，y20＝4cx0，x24x00故4c2＋3c＝1.①因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，（5－c）24（5－c）代入①得＋＝1，4c23c即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.x2y2所以C1的标准方程为36＋27＝1，C2的标准方程为y2＝12x.1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程x2y2y2x2(1)椭圆：a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；x2y2y2x2(2)双曲线：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系cb2①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝a＝1－a2.cb2222②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝a＝1＋a2.222(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标x2y2b①双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ax，焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).y2x2a②双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方...