第二节充分条件与必要条件[考点要求]1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件、必要条件的意义，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()A⊆BB⊆AABBAA＝Bp⇒q且qD⇒/ppD⇒/q且q⇒pp⇔qpD⇒/q且qD⇒/p1(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)q不是p的必要条件时，“p[答案](1)√(2)√(3)√二、教材改编1．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]4．“x2－3x＋2≠0”是“x≠1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”)充分不必要[因为“x＝1”是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件，故“x2－3x＋2≠0”是“x≠1”的充分不必要条件．]q”成立．()考点1充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法2(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件→→→→(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|＞→|BC|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.→→→→→→→→→→→→→→→(3)|AB＋AC|＞|BC|⇔|AB＋AC|＞|AC－AB|⇔AB2＋AC2＋2AB·AC＞AB2＋AC2－2AB·AC3→→→→→→→→π0，，故AB·AC＞0⇔AB，AC的⇔AB·AC＞0，由点A，B，C不共线，得〈AB，AC〉∈2夹角为锐角．故选C.]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6， x＝－1⇒x＝－1或x...
