24分大题抢分练(一)(建议用时：30分钟)20．(12分)如图所示，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|＝6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．[解](1)∵e＝＝，∴a＝c，又2b＝6，且a2＝b2＋c2，∴a2＝18，b2＝9，因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)法一：设M(x0，y0)(x0≠0)，N(x1，y1)，∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，∴直线NB1：y＋3＝－x①，直线NB2：y－3＝－x②，由①②解得x＝，即x1＝，又＋＝1，∴x1＝－，∴四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|x1|＋|x0|)＝3×|x0|.∵0＜x≤18，∴当x＝18时，S取得最大值.法二：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，则直线NB1：y＝－x－3①，直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为，则直线MB2的斜率为kMB2＝＝－，∴直线NB2：y＝2kx＋3②，由①②解得N点的横坐标为xN＝－，∴四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝≤，当且仅当|k|＝时，S取得最大值.21．(12分)(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋lnx(a＞0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1＜a＜e，试判断f(x)的零点个数．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，①当a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②若0＜a＜1，则＞1，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．③若a＞1，则0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，f(x)在(0,1)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；当a＞1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(6分)(2)当1＜a＜e时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)＝－1＜0，f(x)的极大值为f＝2－＋ln＝－－lna－1.设g(a)＝－－lna－1，其中a∈(1，e)，则g′(a)＝＋－＝＝＞0，所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)＜g(e)＝－－2＜0.因为f(4)＝(4－1)2－4＋ln4＞×9－4＋ln4＝ln4＋＞0，所以存在x0∈(1,4)，使f(x0)＝0，所以当1＜a＜e时，f(x)有且只有一个零点．
