第2练复数与平面向量[明晰考情]1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.考点一复数的概念与四则运算要点重组(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.1.(2018·全国Ⅱ)等于()A.－－iB.－＋iC.－－iD.－＋i答案D解析＝＝＝＝－＋i.故选D.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于()A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i答案D解析由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.4.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.答案5解析z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的实部为5.考点二复数的几何意义要点重组(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于()A.3B.－3C.D.－答案B解析(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a， (1＋3i)(1＋ai)∈R，∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.6.(2018·株洲质检)设复数z满足(1＋i)z＝i，则|z|等于()A.B.C.D.2答案A解析由(1＋i)z＝i，得z＝＝＝＋i，∴|z|＝＝.7.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝__________.答案2解析由题意知，z1＝－2－i，z2＝i，∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.8.已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第________象限.答案二解析因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，所以z＝＝＝－(1－i)＝－＋i，对应的点为，在第二象限.考点三平面向量的线性运算方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.9.(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案A解析作出示意图如图所示.EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A.10.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B.C.1D.3答案B解析 AN＝NC，∴AN＝AC，∴AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN.又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ等于()A.2B.C.D.答案D解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM＝，BN＝，AC＝(1,1). AC＝λAM＋μBN＝λ＋μ＝，∴解得故λ＋μ＝.方法二以AB，AD作为基底， M，N分别为BC，CD的中点，∴AM＝AB＋BM＝AB＋AD，BN＝BC＋CN＝AD－AB，∴AC＝λAM＋μBN＝AB＋AD，又AC＝AB＋AD，因此解得所以λ＋μ＝.12.若|a|＝1，|b|＝，且|a－2b|＝，则向量a与向量b夹角的大小是________.答案解析由|a－2b|＝，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝7，∴1－4a·b＋4×3＝7，∴a·b＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝，又 0≤〈a，b〉≤π，∴〈a...
