“2＋1＋2”压轴满分练(一)1．过抛物线y＝x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为()A．11B．12C．13D．14解析：选B由题意可知，焦点F(0,1)，易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，设为k(k≠0)，则该直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立方程得∴x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，设线段AB的中点为M，则M(2k，2k2＋1)，|AB|＝＝＝4(1＋k2)，设C(m，－1)，连接MC， △ABC为等边三角形，∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，点C(m，－1)到直线y＝kx＋1的距离|MC|＝＝|AB|，∴＝×4(1＋k2)，∴＝2(1＋k2)，∴＝，∴k＝±，∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f＝，f＝0，且f(x)在(0，π)上单调．下列说法正确的是()A．ω＝B．f＝C．函数f(x)在上单调递增D．函数f(x)的图象关于点中心对称解析：选C由题意得函数f(x)的最小正周期T＝，因为f(x)在(0，π)上单调，所以＝≥π，得0<ω≤1.因为f＝，f＝0，所以f(x)在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1，所以解得所以f(x)＝2sin.选项A显然不正确．因为f＝2sin－×＋＝2sin＝，所以B不正确．因为当－π≤x≤－时，0≤x＋≤，所以函数f(x)在上单调递增，故C正确．因为f＝2sin＝2sin≠0，所以点不是函数f(x)图象的对称中心，故D不正确．3．已知函数f(x)＝，g(x)＝，若函数y＝f(g(x))＋a有三个不同的零点x1，x2，x3(其中x10，g(x)单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减．作出函数g(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝t，由f(t)＋a＝＋a＝0，得关于t的一元二次方程t2＋(a－1)t＋1－a＝0，又f(g(x))＋a＝0有三个根x1，x2，x3，且x10，得1－a<0或1－a>4.当0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，连接并延长AF1，AF2，分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2(O为坐标原点)，求证：k1·k2为定值．解：(1)设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，由题意，得∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：易知直线AF1，AF2的斜率均不为0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，当直线AF1的斜率不存在时，不妨令A，则B，又F1(－1,0)，F2(1,0)，∴直线AF2的方程为y＝－(x－1)，将其代入＋y2＝1，整理可得5x2－2x－7＝0，∴x2＝，y2＝－，则D，∴直线BD的斜率k1＝＝，直线OA的斜率k2＝－，∴k1·k2＝×＝－.当直线AF2的斜率不存在时，同理可得k1·k2＝－.当直线AF1，AF2的斜率都存在且不为0时，设A(x0，y0)，则x0y0≠0，则直线AF1的方程为y＝(x＋1)，联立，得消去y可得，[(x0＋1)2＋2y]x2＋4yx＋2y－2(x0＋1)2＝0，又＋y＝1，∴2y＝2－x，∴(3＋2x0)x2＋2(2－x)x－3x－4x0＝0，∴x1·x0＝，∴x1＝，则y1＝＝－，∴B.直线AF2的方程为y＝(x－1)，同理可得D，，∴直线BD的斜率k1＝＝＝， 直线OA的斜率k2＝，∴k1·k2＝·＝＝＝－.综上，k1·k2为定值，且定值为－.5.已知函数f(x)＝(x＋b)(ex－a)(b>0)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为(e－1)x＋ey＋e－1＝0.(1)求a，b；(2)若方程f(x)＝m有两个实数根x1，x2，且x10矛盾，故a＝1，b＝1.(...
