高考数学一轮复习 选修部分 坐标系与参数方程 课时达标检测（六十一）坐标系 理-人教版高三选修数学试题VIP专享VIP免费

课时达标检测（六十一）坐标系1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.2．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.3．(2018·扬州质检)求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程．解：点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝6cos.4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1. x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，点R的直角坐标为R(2,2)．(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.5．(2018·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝kcosθ－ksinθ，即ρ2＝kρcosθ－kρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，即2＋2＝k2，所以圆心C的直角坐标为.直线l的极坐标方程可化为ρsinθ·－ρcosθ·＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，所以－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，所以或解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.6．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点(2,0)．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设点Q和点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．解：(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，再化为直角坐标方程为y2＝8x.直线l的参数方程为(t为参数)．(2)点Q的直角坐标为(0，－2)．因为直线l过点P(2,0)和Q(0，－2)，所以直线l的倾斜角α＝.所以直线l的参数方程为(t为参数)．将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2＝8.整理，得t2－8t－32＝0.Δ＝(－8)2＋4×32＝256>0.设t1，t2为方程t2－8t－32＝0的两个根，则t1＋t2＝8，t1·t2＝－32，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2,0)．点G到直线l的距离为d＝|PG|sin45°＝4×＝2，所以S△GAB＝×d×|AB|＝×16×2＝16.7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程...