课时跟踪检测（二十七）1．(2017·云南调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)．(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．解：(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|，①当x<－1时，f(x)≥6可化为－x－1＋2－x≥6，解得x≤－；②当－1≤x≤2时，f(x)≥6可化为x＋1＋2－x≥6，无实数解；③当x>2时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥.综上，不等式f(x)≥6的解集为.(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(∞－，－7]∪[5∞，＋)．法二：①当m<－1时，f(x)＝此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6，解得m≤－7，所以m的取值范围是m≤－7.②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|，此时f(x)min＝0，不满足题意．③当m>－1时，f(x)＝此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5，所以m的取值范围是m≥5.综上所述，m的取值范围是(∞－，－7]∪[5∞，＋)．2．(2017·郑州模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.(1)求a＋b的值；(2)求a2＋b2的最小值．解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4.(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋＝2＋，故当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2取最小值为.3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋a|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范围．解：(1)a＝1，f(x)>1⇔|x－1|－2|x＋1|>1⇔或或⇔－2
1的解集为.(2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|2x＋2a|
