课时跟踪检测（二十四）1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0
(2)当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0
设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0
①当a≤2，x∈(1∞，＋)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1∞，＋)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋
由x2＞1和x1x2＝1得00，f(x)在(0∞，＋)上单调递增，f(x)无最值；当t>0时，由f′(x)t，f(x)在(0，t)上单调递减，在(t∞，＋)上单调递增，故f(x)在x＝t处取得最小值，最小值为f(t)＝lnt＋1－s，无最大值．(2) f(x)恰有两个零点x1，x2(00，∴h(t)在(1∞，＋)上单调递增， t>1，∴h(t)>h(1)＝0，又t＝>1，lnt>0，故x1＋x2>4成立．3．(2017·宝鸡质检)函数f(x)＝lnx－ax2－2x
(1)若a＝8，求f(x)的单调区间；(2)若a>－1，对任意的a，总存在某个x0∈[2,3]，使得f(x0)－b0)，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈时，f′(x)e－x
解：(1)由题意知，函数f(x)＝lnx＋的定义域为(0∞，＋)．由f(x)＝lnx＋，得f′(x)＝－＝
因为a>0，所以x∈(0，a)时，f′(x)0
