课时跟踪检测（二十五）1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0
(2)当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0
设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0
①当a≤2，x∈(1∞，＋)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1∞，＋)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋
由x2＞1和x1x2＝1得02
解：(1)由已知得f′(x)＝x＋1－a－(x>0)，因为f(x)存在极值点1，所以f′(1)＝0，即2－2a＝0，a＝1，经检验符合题意，所以a＝1
(2)证明：f′(x)＝x＋1－a－＝(x>0)，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0∞，＋)上为增函数，不符合题意．②当a>0时，由f′(x)＝0得x＝a，当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0
