课时跟踪检测（二十五）1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1∞，＋)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0.设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1∞，＋)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1∞，＋)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2＞1和x1x2＝1得0
2.解：(1)由已知得f′(x)＝x＋1－a－(x>0)，因为f(x)存在极值点1，所以f′(1)＝0，即2－2a＝0，a＝1，经检验符合题意，所以a＝1.(2)证明：f′(x)＝x＋1－a－＝(x>0)，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0∞，＋)上为增函数，不符合题意．②当a>0时，由f′(x)＝0得x＝a，当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当01－a，取y＝f(x)关于直线x＝a对称的曲线g(x)＝f(2a－x)，令h(x)＝g(x)－f(x)＝f(2a－x)－f(x)＝2a－2x－aln，则h′(x)＝－2＋＝－2＋≥0，所以h(x)在(0,2a)上单调递增，不妨设x1h(a)＝0，即g(x2)＝f(2a－x2)>f(x2)＝f(x1)，又2a－x2∈(0，a)，x1∈(0，a)，且f(x)在(0，a)上为减函数，所以2a－x22a，又lna>1－a，易知a>1成立，故x1＋x2>2.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，··…·0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a∞，＋)时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a∞，＋)上单调递增．故x＝a是f(x)在(0∞，＋)的唯一最小值点．由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0.故a＝1.(2)由(1)知当x∈(1∞，＋)时，x－1－lnx>0.令x＝1＋，得ln<.从而ln＋ln…＋＋ln<…＋＋＋＝1－<1.故·…·2，所以m的最小值为3.5．(2018届高三·湖南湘中名校联考)设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝1＋－＝.令g(x)...
