8.2不等式选讲(二选一)命题角度1含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)={-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.2.(2017全国Ⅰ·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而11的解集.解(1)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-132,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)>1的解集为{x|15}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或15}.典题演练提能·刷高分1.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.解(1)由于f(x)={-2x+5,x<2,2x-3,x≥2,则y=f(x)的图象如图所示:(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围是(-∞,-2)∪12,+∞.2.已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解(1)由f(x)≤2,得{x≤1,2-2x≤2或{10.则不等式f(x)≤-6等价于{x<-1,x-1≤-6或{-1≤x≤0,3x+1≤-6或{x>0,1-x≤-6,解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积取得最大值12×4×3=6,∴f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a<-2. △ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8. AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,∴12×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,a2≥12.又a<-2,则a≤-2❑√3,故实数a的取值范围是(-∞,-2❑√3].4.已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)解不等式f(x)<8.解(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|≥|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)={-4x-3,x<-2,5,-2≤x≤12,4x+3,x>12,(2)当x<-2时,由-4x-3<8,解得x>-114,即-11412时,由4x+3<8,解得x<54,即120,所以f(x)的最小值为f(0)=-3.又因为对任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,只需2m2-7m≤-3,即2m2-7m+3≤0,解得12≤m≤3,故m的取值范围为12,3.(2)方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不...
