合情推理与演绎推理【基本知识点】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．合情推理的过程(1)归纳推理：简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理：简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)2．演绎推理：简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．“三段论”可以表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：S是P.【基础检测】1．(2012·陕西)观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．答案1＋＋＋＋＋<2．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.答案3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错答案A5．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28B．76C．123D．199答案C【例题选讲】例1已知函数f(x)＝，(1)分别求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＋f＋f＋…＋f.解(1)1，1，1.(2)f(x)＋f＝1，(3).已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋<2，＋<2，＋<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．答案若m>0，n>0，则当m＋n＝20时，有＋<2题型二类比推理例2在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．思维启迪：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．解图①如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.∴＝＋.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.图②如图②，连接BE并延长交CD于F，连接AF. AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．探究提高(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(b≠0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝__________.答案题型三演绎推理例3数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N*)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．证明(1) an＋1...
