第8讲二项分布与正态分布一、选择题1.(·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.答案A2.(2017·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是()A.B.C.D.解析三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.答案D3.(2016·青岛一模)设随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点的概率为()A.B.C.D.解析 函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点，∴Δ＝4－4X<0，∴X>1， X～N(1，σ2)，∴P(X>1)＝，故选C.答案C4.(2017·武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝()A.B.C.D.解析由题意得(1－p)＋p＝，∴p＝，故选B.答案B5.(2016·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于()A.CB.CC.CD.C解析由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C××.答案D二、填空题6.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案0.727.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p0，则p0＝________.解析由X～N(800，502)，知μ＝800，σ＝50，又P(700＜X≤900)＝0.9544，则P(800＜X≤900)＝×0.9544＝0.4772.答案0.47728.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.解析 X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.答案三、解答题9.(·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.解(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B为“顾客抽奖1次能获奖”，则表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A1与A2相互独立，则1与2相互独立，且＝1·2，因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P()＝P(1·2)＝·＝，故所求事件的概率P(B)＝1－P()＝1－＝.(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C，由P(C)＝P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝，顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B，于是P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝.故X的分布列为X0123P10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.解(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0...
