1讲导数的概念及其运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·苏、锡、常、镇四市调研)直线y＝kx与曲线y＝2ex相切，则实数k＝________.解析设直线y＝kx与曲线y＝2ex相切的切点坐标为(x0,2ex0)，且y′＝2ex，则切线方程为y－2ex0＝2ex0(x－x0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x0＝1，则实数k＝2ex0＝2e.答案2e2．(·大纲全国卷改编)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析 y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，∴k＝y′|x＝1＝e1－1＋1×e1－1＝2.答案23．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析 f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′sin＋cos，∴f′＝－1，∴f＝(－1)cos＋sin＝1.答案14．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为________．解析设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0)， y′＝x－，∴y′|x＝x0＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，解得x0＝2或－3(舍)．答案25．(·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．解析y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.答案6．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．解析y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.答案－37.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.答案28．(·扬州调研)若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析 f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋. f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x≥＋2(x＞0)．答案[2∞，＋)二、解答题9．已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解(1) P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.10．设抛物线C:y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①y1＝－x＋x1－4，②①代入②得x＋x1＋4＝0. P为切点，∴Δ＝2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1. P在第一象限，∴所求的斜率k＝.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，∴x2＝，y2＝－4.∴Q点的坐标为.能力提升题组(建议用时：25分钟)1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析y′＝－＝－.设t＝ex∈(0∞，＋)，则y′＝－＝－， t≥＋2，∴y′∈[－1,0)，α∈.答案2．(·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2…＋＋log2016x2015的值为________．解析f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，∴x1·x2·…·x2015＝×××…××＝，则log2016x1＋log2016x2…＋＋log2016x2015＝log2016(x1x2…x2015)＝－1.答案－13．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.解析令g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝...
