第1讲数列的概念与简单表示法分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·广州模拟)在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2013＝()．A．－1B．－C.D．1解析将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2013＝x1＝1.答案D2．(·西安模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析 Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴an＝0(n∈N*)，故选C.答案C3．(·北京朝阳区一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝()．A．－16B．16C．31D．32解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.答案B4．(·日照二模)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()．A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋1解析由an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n≥2)．∴an＝∴a6＝3×44.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案10或116．(·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案2n三、解答题(共25分)7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．解 an＝an－1＋(n≥2)，∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＋2＝3n，即an＝3n－2.8．(13分)(·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝分层B级创新能力提升1．(·山东省实验中学诊断性测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20…，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差即a2012－5＝()．A．2018×2012B．2018×2011C．1009×2012D．1009×2011解析结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4…＋＋(n＋2)．所以a2012－5＝4＋5…＋＋2014＝2011×1009.故选D.答案D2．(·长春模拟)在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()．A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50解析an＝＝1＋，∴当n∈[1,44]时，{an}单调递减，当n∈[45,100]时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图象可知，(an)max＝a45，(an)min＝a44，选C.答案C3．(·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2013＝________.解析 f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．故f(x)周期为4，∴a2013＝f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案4．(·苏州模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析y＝x2上点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0可得x＝ak，即ak＋1＝ak，即可得数列{ak}是首项为16，公比为的等比数列，则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案215．根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln...
