立体几何复习专题(空间角)(学生卷)VIP免费

空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：。（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线垂直，记作。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：0，。（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有。由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。3．二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为，两个面分别为的二面角记为。（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角。说明：①二面角的平面角范围是，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知的边在平面内，顶点。设的面积为，它在平面内的射影面积为，且平面与所在平面所成的二面角为，则。注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；可以推广到任意的多边形。②在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法”。二、能力巩固考点一：异面直线所成的角例1.如图所示，是直三棱柱，，点分别是和的中点，若，求与所成角的余弦值。（答案：）变式训练1：三棱柱，平面⊥平面OAB，，且，求异面直线与所成角的余弦。考点二：直线和平面所成的角例2.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，,，求与平面所成角的正切。变式训练2：（1）在的二面角的两个面与内分别有两点，已知点和点到棱的距离分别为，且线段。求：第1页（共3页）DCOAB21cbaPOABlB'O'A'BOA①直线和棱所成角的正弦值；②直线和平面所成角的正弦值。（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．（3）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且点在平面上的射影恰在上。求直线与平面所成角的大小。（4）①为平面的斜线，则平面内过点的直线与所成的最小角为_____________，最大角为__________________。平面内过点的直线与所成角的范围为_______________。②与平面内不过点的直线所成的角的范围为_______________________。③直线与平面所成的角为，直线与所成角为，则与平面所成角的取值范围是______________________。④设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有()（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条⑤过正方体的顶点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。考点三：平面和平面所成的角——二面角的求法例3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点。（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小。变式训练3:在直三棱柱中，，...