根与系数关系VIP免费

*第3课时一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则________________________，x1＋x2＝－bax1x2＝ca注意：一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是_____________，即二次项系数______，且________________．一元二次方程a≠0Δ＝b2－4ac≥0__________________.2．一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系在解方程中的应用非常广泛，这一类问题可归结为四种类型：(1)不解方程检验方程的解；(2)已知方程的解构建方程；(3)求关于方程两根的代数式的值；(4)已知关于方程两根的代数式的值，求方程中字母的系数．知识点1一元二次方程的根与系数的关系(重点)【例1】已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求方程的另一根及m的值．思路点拨：根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及m的值．解：设原方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝m.∵x1＝－2，∴x2＝4－x1＝6，m＝x1x2＝－12.即方程的另一根是6，m的值为－12.【跟踪训练】1．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是()CA．1B．2C．－2D．－12．方程6x2－3x＋2＝0的两根之和是__________，两根之积是__________．1312知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用【例2】已知方程x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．思路点拨：如果原方程的两个根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.则所求方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0，只要求出x1＋x2，x1x2便可解出．解：设原方程的两根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2，∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.∴可设所求作的方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.即y2＋6y－8＝0.【跟踪训练】3．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程_____________________________．x2－x－6＝0(答案不唯一)4．任写一个一根为－1，另一根大于0小于1的一元二次方程________________________．x2＋12x－12＝0(答案不唯一)【例3】设x1，x2是关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m≠0)思路点拨：本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，因为方程有两个实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，求出m的取求解．的两个根，且满足1x1＋1x2＝－23，求m的值．值范围，然后根据1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2，即可得到关于m的方程然后解：∵Δ＝(m＋1)2≥0，∴对于任意实数m，方程恒有两个实数根x1，x2.又∵x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m，且m≠0，∴3m－3＝2m.∴m＝3.1x1＋1x2＝－23.∴x1＋x2x1x2＝－23.∴m－1－m＝－23.【跟踪训练】5．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实DA．8B．7C．6D．5数根是x1，x2，且x21＋x22＝24，则k的值是()解析：由题知，x1＋x2＝6，x1x2＝k＋1.由x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝62－2(k＋1)＝24，解得k＝5.6．已知方程x2＋3x＋m＝0的两根为x1，x2，当m为何值时，3x1－x2＝4.解：∵3x1－x2＝4，∴3(x1＋x2)－4x2＝4.∵x1＋x2＝－3，∴3×(－3)－4x2＝4，x2＝－134.将x2＝－134代入原方程，得－1342＋3×－134＋m＝0，m＝－1316.