第一章多项式多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项式。一重难点归纳与分析(一)基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分，其中一元多项式主要讨论：1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。2．一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。(二)重难点归纳本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念的联系与区别。(三)题型归类与分析本章的基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及球多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。(四)综合举例例1设f(x)是一元多项式，a,b是任意数，c是非零数，试证：1)f(x-c)=f(x)of(x)是常数；2)f(a+b)=f(a)+f(b)of(x)=kx(k为常数)；3)f(a+b)=f(a)f(b)of(x)=1或1。证上述命题的充分性显然，下证必要性。1)若f(x)不是常数，因f(x)是一元多项式，可设。(f(x))=n>0,并设x,x，…x是f(x)的n个12n根，则于是x-c,x-c,...x-c也是f(x)的n个根，再由韦达定律，有12n从而c=0，与假设矛盾，即证f(x)是常数。2)在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令b=0，可得f(0)=0，于是"二0是f(x)的一个根，从而有f(x)=xg(x),再令x二2t，得即证g(x)为一个常数，设其为k，代入f(x)=xg(x)可得f(x)=kx。3)若f(x)=0，则结论成立。否则由知f(x)只能是常数，设其为k，则又因假设，k主0，所以k=1，即证f(x)=1。例2在P[x]中，设g(x)丰0,h(x)为任意的多项式，试证：证：由已知，可设则于是即d(x)是f(x)—h(x)g(x)与g(x)的一个公因式。若di(x)是f(x)—h(x)g(x)与g(x)的任意一个公因式，则由多项式的整除性质，可得f(x)二q3(x)di(x)。这表明d/x)f(x)，从而即d(x)还是f(x)-h(x)g(x)与g(x)的一个首项系数为1的最大公因式，故有例3设f(x),f(x),g(x),g(x)是实系数多项式，且1212(x2+1)f(x)+(x+1)g(x)+(x-2)g(x)二0(1)112(x2+1)f(x)+(x-1)g(x)+(x+2)g(x)二0(2)212试证g(x),g(x)皆能被x2+1整除。12证由(x—1)X(1)-(x+1)X(2)可得再由(x+2)X(1)-(x—2)X⑵，同理可证(x2+1)1g1(x).例4试问：2...
