§2.3等差数列的前n项和第二章数列目标定位【学习目标】1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2．经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．【重、难点】重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．学习目标和重难点知识链接在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am＋an＝___________.特别地，若m+n=2p，则am＋an＝______________.ap＋aq2ap自主探究（一）要点识记1.教材推导等差数列前n项和的方法是：_______________2.等差数列的前n项和公式是：（1）_____________________；（2）_____________________.倒序相加法𝑺𝒏=𝒏𝒂𝟏+𝒏(𝒏−𝟏)𝟐𝒅𝑺𝒏=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐新知探究等差数列前n项和的性质等差数列的公差为，前n项和为.（1）当的项数为奇数时，①；②；③.（二）深层探究自主探究（2）当的项数为偶数时，①②；③.（3）也成等差数列，且公差为.（二）深层探究典例突破例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破【解析】依题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.∴建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a1＝500，d＝50.则到2010年(n＝10)，投入的资金总额为(元)．∴从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破【解题反思】如何建立等差数列模型？答：建立等差数列的模型，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破变式1.一支车队有15辆车，某天依次出发执行运输任务.第一辆车于下午2时出发，第二辆车于下午2时10分出发，第三辆车于下午2时20分出发，以此类推.假设所有的司机都连续开车，并都在下午6时停下来休息.(1)到下午6时，最有一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的形式速度都是60km/h，这个车队当天一共行驶了多少km.（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破【解析】(1)依题意，从第2辆车到最后一辆车，每辆车都比前一辆车少行驶.∴建立等差数列{an}，用an表示第n辆车的行驶时间，则.∴(h)，即到下午6时，最有一辆车行驶了h.（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破(2)记为到下午6时，所有车辆的形式时间，则(h)记为到下午6时，所有车辆的行驶路程，则（km）∴这个车队当天一共行驶了km.（一）等差数列的前n项和公式的应用典例突破例2.设等差数列的公差为，前n项和为.（1）若则______.（二）等差数列前n项和性质的应用【解析】由得，即∴𝟏𝟎𝟖变式2-1.若则____.【解析】由得，解得或.…………①…………∴②由①②得𝟏𝟎（二）等差数列前n项和性质的应用典例突破（2）若（）A．10B．11C．19D．20【解析】由“，”知∴由得，即由得；由得；由得.故选CC（二）等差数列前n项和性质的应用典例突破再设等差数列的前n项和为.（3）若，则_______；【解析】变式2-3.若，则_______；【解析】𝟏𝟎𝒏−𝟑𝟐𝒏+𝟐𝟏𝟕𝟔（二）等差数列前n项和性质的应用典例突破（4）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227∶，则公差d=______.【解析】由条件，解得∴由得𝟓（二）等差数列前n项和性质的应用典例突破变式2-4.已知是等差数列，且其前四项的和为21，后四项的和为67，且所有项的和为286，则其项数为_____.【解析】由题意∴∴由得，解得𝟐𝟔（二）等差数列前n项和性质的应用典例突破【解析】将代入，得，解得.∴例3.已知等差数列{an}，求.（三）...
