第1页(共8页)2025届高三综合测试(一)数学参考答案一、选择题12345678BADDAACC91011ABCBCDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.8.13.4051.14.108.【详解】因为()e(22)()xfxxfx′=−+,所以2()ee()()22[]eexxxxfxfxfxx′−′−,从而2()2exfxxxc=−+,即2()e(2)xfxxxc=−+,其中c为常数,又(0)1fc==,故2()e(21)xfxxx=−+,则2()(1)exfxx′=−,当(),1x∈−∞−时,()0fx′>,()fx为增函数;当()1,1x∈−时,()0fx′<,()fx为减函数;当()1,x∈+∞时,()0fx′>,()fx为增函数,所以当(1)(1)fkf<<−时,即40ek<<时,直线yk=与=()yfx的图像有三个不同的交点,即方程()=fxk有三个不同的解.故选:C.10.【解答】解:因为函数()fx的定义域为R,且22()()()()fxyfxyfxfy+⋅−=−,f(1)2=,(1)yfx=+为偶函数,令0xy==,得(0)0f=,再令0x=,则22()()(0)()fyfyffy−=−,显然()fy不恒为零,所以()()fyfy−=−,即()fx为奇函数,B正确;所以(1)(1)(1)fxfxfx+=−+=−−,所以(2)()fxfx+=−,所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=,即()fx的周期为4,则f(3)(1)ff=−=−(1)2=−,A错误;(02)(0)0ff+=−=,C正确;由A,B,C可知,f(1)2=,f(2)0=,f(3)2=−,f(4)(0)0f=,且()fx的周期为4,所以20241()506[kfkf==×∑(1)f+(2)f+(3)f+(4)]0=,D正确.故选:BCD.11.【解答】解:因为2()fxlnx=,所以2()lnxfxx′=,所以经过(ix,())(1ifxi=,2)的切线方程为22()iiiilnxyxxlnxx=−+,由切线过点(,)Pab知,22()(1,2)iiiilnxbaxlnxix=−+=,第2页(共8页)令22()2alnxgxlnxlnxbx=+−−,则()gx恰有两个零点1x,2x,且22(1)()()lnxxagxx−−′=,当ae=时,()0gx′,则()gx在(0,)+∞单调递增,不可能有两个零点;当ae≠时,则若ae>,当0xe<<或xa>时()0gx′>,当exa<<时()0gx′<,则()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增,在(,)ea上单调递减,若0ae<<,当0xa<<或xe>时()0gx′>,当axe<<时()0gx′<,则()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增,在(,)ae上单调递减,故g(e)0=或g(a)0=时,函数()gx才可能有两个零点,又g(a)20lnab=−≠,故g(e)0=,此时显然有两条切线,所以2()10agebe=−−=,即2(1)aeb=+,当12b=时,34aee=<,故A错误,B正确;由上述分析,1{ex∈,2}x,当ae>时,1xea=<,()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增,在(,)ea上单调递减,示意图如图.显然1xa<,且222222222()22(1)0alnxafxblnxblnxlnxxx−=−=−=−>,所以2()fxb>,当0ae<<时,2xea=>,()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增,在(,)ae上单调递减,示意图如图.显然212,()()1xafxfelne<===,由2(1)aeb=+,得21abe=−,所以22111aebee=−<−=,即2()fxb>,综上,12()xafxb<>,故选项C和D正确.故选:BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.【解答】解:由a表示数学课,b表示语文课,c表示英语课,按上午的第1、2、3、4、5节课排列,可得若A班排课为aabbc,则B班排课为bbcaa,若A班排课为bbaac,则B班排课为aacbb,若A班排课为aacbb,则B班排课为bbaac,或B班排课为cbbaa,若A班排课为bbcaa,则B班排课为aabbc,或B班排课为caabb,若A班排课为cbbaa,则B班排课为aacbb,若A班排课为caabb,则B班排课为bbcaa,则共有8种不同的排课方式.故答案为:8.13.【解答】解:根据题意,因为函数(2)1yfx=+−为定义在R上的奇函数,第3页(共8页)所以函数()fx的图象关于(2,1)中心对称,则有()(4)2fxfx+−=,且f(2)1=,故(2024)[(2023)(2027)][(2022)(2026)][fifffff−=−++−++…+(1)f+(3)]f+(2)2025214051=×+=.故答案为:4051.14.解:固定每个{1,2,,100}n∈,考察路灯nL.根据题意,nL被第k名行人改变开关状态,当且仅当k为n的正约数(注意n的正约数都不超过100,故每个正约数均可对应到某一名行人).所以nL最终为开,当且仅当n的正约数个数为奇数.以下证明这等价于n为平方数.事实上,n的每个正约数d均可对应到正约数ndd′=,其中,d对应到自身当且仅当ndd=,即dn=.这意味着,n的正约数个数为奇数当且仅当n是n的正约数,即n为平方数.因此,当所有行人都经过后,恰好那些下标为平方数1,4,9...