第1页（共8页）2025届高三综合测试（一）数学参考答案一、选择题12345678BADDAACC91011ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.8．13.4051．14.108．【详解】因为()e(22)()xfxxfx′=−+，所以2()ee()()22[]eexxxxfxfxfxx′−′−，从而2()2exfxxxc=−+，即2()e(2)xfxxxc=−+，其中c为常数，又(0)1fc==，故2()e(21)xfxxx=−+，则2()(1)exfxx′=−，当(),1x∈−∞−时，()0fx′>，()fx为增函数；当()1,1x∈−时，()0fx′<，()fx为减函数；当()1,x∈+∞时，()0fx′>，()fx为增函数，所以当(1)(1)fkf<<−时，即40ek<<时，直线yk=与=()yfx的图像有三个不同的交点，即方程()=fxk有三个不同的解．故选：C．10．【解答】解：因为函数()fx的定义域为R，且22()()()()fxyfxyfxfy+⋅−=−，f（1）2=，(1)yfx=+为偶函数，令0xy==，得(0)0f=，再令0x=，则22()()(0)()fyfyffy−=−，显然()fy不恒为零，所以()()fyfy−=−，即()fx为奇函数，B正确；所以(1)(1)(1)fxfxfx+=−+=−−，所以(2)()fxfx+=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，即()fx的周期为4，则f（3）(1)ff=−=−（1）2=−，A错误；(02)(0)0ff+=−=，C正确；由A，B，C可知，f（1）2=，f（2）0=，f（3）2=−，f（4）(0)0f=，且()fx的周期为4，所以20241()506[kfkf==×∑（1）f+（2）f+（3）f+（4）]0=，D正确．故选：BCD．11．【解答】解：因为2()fxlnx=，所以2()lnxfxx′=，所以经过(ix，())(1ifxi=，2)的切线方程为22()iiiilnxyxxlnxx=−+，由切线过点(,)Pab知，22()(1,2)iiiilnxbaxlnxix=−+=，第2页（共8页）令22()2alnxgxlnxlnxbx=+−−，则()gx恰有两个零点1x，2x，且22(1)()()lnxxagxx−−′=，当ae=时，()0gx′，则()gx在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点；当ae≠时，则若ae>，当0xe<<或xa>时()0gx′>，当exa<<时()0gx′<，则()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增，在(,)ea上单调递减，若0ae<<，当0xa<<或xe>时()0gx′>，当axe<<时()0gx′<，则()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增，在(,)ae上单调递减，故g（e）0=或g（a）0=时，函数()gx才可能有两个零点，又g（a）20lnab=−≠，故g（e）0=，此时显然有两条切线，所以2()10agebe=−−=，即2(1)aeb=+，当12b=时，34aee=<，故A错误，B正确；由上述分析，1{ex∈，2}x，当ae>时，1xea=<，()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增，在(,)ea上单调递减，示意图如图．显然1xa<，且222222222()22(1)0alnxafxblnxblnxlnxxx−=−=−=−>，所以2()fxb>，当0ae<<时，2xea=>，()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增，在(,)ae上单调递减，示意图如图．显然212,()()1xafxfelne<===，由2(1)aeb=+，得21abe=−，所以22111aebee=−<−=，即2()fxb>，综上，12()xafxb<>，故选项C和D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【解答】解：由a表示数学课，b表示语文课，c表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得若A班排课为aabbc，则B班排课为bbcaa，若A班排课为bbaac，则B班排课为aacbb，若A班排课为aacbb，则B班排课为bbaac，或B班排课为cbbaa，若A班排课为bbcaa，则B班排课为aabbc，或B班排课为caabb，若A班排课为cbbaa，则B班排课为aacbb，若A班排课为caabb，则B班排课为bbcaa，则共有8种不同的排课方式．故答案为：8．13．【解答】解：根据题意，因为函数(2)1yfx=+−为定义在R上的奇函数，第3页（共8页）所以函数()fx的图象关于(2,1)中心对称，则有()(4)2fxfx+−=，且f（2）1=，故(2024)[(2023)(2027)][(2022)(2026)][fifffff−=−++−++…+（1）f+（3）]f+（2）2025214051=×+=．故答案为：4051．14．解：固定每个{1,2,,100}n∈，考察路灯nL.根据题意，nL被第k名行人改变开关状态，当且仅当k为n的正约数（注意n的正约数都不超过100，故每个正约数均可对应到某一名行人）.所以nL最终为开，当且仅当n的正约数个数为奇数.以下证明这等价于n为平方数.事实上，n的每个正约数d均可对应到正约数ndd′=，其中，d对应到自身当且仅当ndd=，即dn=.这意味着，n的正约数个数为奇数当且仅当n是n的正约数，即n为平方数.因此，当所有行人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9...
