《两角差的余弦公式》微课说明两角差的余弦公式是本章的基础和出发点．上好这节课很不容易，因为在教学处理上面临三个难点：一是怎样想到先研究这个公式；二是怎样猜想、发现这个公式；三是怎样证明这个公式．第一，教学目标定位高、立意新．人不是一生下来就聪明的，而是通过不断教育变得聪明起来．数学是思维的体操，数学教育应该在促进学生思维发展方面承担更多的责任．本节课以两角差余弦公式的探究为载体，以培养和发展学生的思维为教学的着力点，进行了精心的、富有创意的设计．具体表现在：(1)紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”．既重视问题提出的自然性与合理性，也重视问题解决的自然性与合理性．(2)教学重心前移．强化了公式的发现和证明的过程．整节课四分之三左右的时间用于问题的提出、猜想的发现、证明思路的探讨．(3)强化了学生对数学思想方法和思维方法的感悟．教学中，教师在公式证明后和课堂小结时两次引导学生对探究的思路和方法进行总结．(4)针对通常作业中存在的模仿性太强，而创新性不足的问题，教师将通常的单纯做课后习题改为探究性、创新性作业，包括两角和余弦公式证明的探究、两角和与差正弦公式证明的探究，真正体现了学生自主探究知识、构建知识的教学理念．作业分层次，并给学生一定的自主选择的空间，体现了让不同的学生学不同的数学、得到不同的发展的理念．(5)借用名家名言对学生进行数学精神和数学文化的熏陶，激发学生探究和创新的积极性．第二，教学设计遵循教材、超越教材．本节课在遵循教材总的设计思路、框架的前提下，在一些具体的细节上作了调整．遵循教材体现在：一是学习的内容、要求没有变；二是探究的整个框架没有变，第一步是猜想结果，第二步是证明结果，并且猜想和证明的思路也没有变．超越教材体现在：一是问题的引入作了调整．教材由实际问题引入，显得有些生硬，并且离本节课的主题较远，学生理解起来比较吃力、费时，而教师改成由诱导公式直接引出，显得自然、干脆．二是研究和思维的切入点作了调整．教材直接提出两角差的余弦公式问题，回避了为什么要先研究这个问题、怎样想到先研究这个问题，而教师处理是先探究得出两角和的正弦余弦公式，在正弦公式证明思维受阻、余弦公式与向量数量积公式相近的情况下，自然地发现两角差的余弦公式．三是在对简单情况进行讨论得出猜想的细节上作了改进．教材是作角、、，但教师在处理时是作角、、+，从而使得探究的思路更加自然、更贴近学生的原有知识结构．四是根据学生的实际水平，对课外作业做了调整和补充．第三，数学思维展开如高山流水，自然、流畅．本节课教师在问题的提出、解决、拓展等方面都十分注意这一点．教师紧紧抓住思维的“关键点”，非常重视引导和帮助学生搞清楚“为什么”和“怎样想到”这两方面的问题：如为什么要研究这个问题，用怎样的思路和方法研究这个问题，如何用特殊值推翻初步猜想，怎样想到在角都是锐角的情况下放在直角三角形中讨论，怎样想到要作这样的辅助线，怎样观察与联想，怎样想到用向量的数量积公式证明猜想，如何完善证明的思路与方法，怎样拓展问题，等等．整个课教师真正做到了让数学思维在教学中自然地流淌，达到了有效“教思维”的目的．第四，探究过程真实、自然，师生互动充分．学生在教师的指导、帮助下，自己提出接近研究水平的真实问题，再用接近研究水平的方式进行探究．这突出表现在：一是关注问题的提出和解决的自然性与合理性，采用了课堂随机生成、自然进入的方式先解决两角差的余弦公式，力求还原真实的、曲折的探究过程，再现了科学研究中经常遇到的“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的现象；二是在搞清楚探究和解决问题的大框架、证明的主导思想的前提下进行探究，避免了探究的盲目性，同时有助于学生思维的发展；三是在整个探索过程中充分体现了“证明与反驳”的思想：提出初步猜想----举反例反驳----再次提出新的猜想----取任意角验证----给出严格的逻辑证明----得到数学公式．课堂上，教师注意保证学生思考、讨论的时间，让学生充分表达自己的观点、看法、思路与感悟，真正做到了学生在教师的指导下自主探究、建构知...
