金品质高追求我们让你更放心!•◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式三角恒等变换金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆基础梳理一、两角差的余弦公式的推导两角差的余弦公式:在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为公共始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,设向量OA→,OB→的夹角0≤α-β≤π,则OA→=()cosα,sinα,OB→=()cosβ,sinβ.由向量数量积定义得OA→·OB→=||OA→||OB→cos()α-β=cos()α-β,且有OA→·OB→=cosαcosβ+sinαsinβ,金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆于是得两角差的余弦公式:cos(α-β)=________.当α,β,α-β为任意角时,该公式也适用.注意:公式的逆用形式为cosαcosβ+sinαsinβ=________.公式的推导中要注意如下几何问题:(1)两角差的余弦公式是推导出其他和(差)角三角函数公式的基础,因此在学习上要引起重视.(2)在推导两角差的余弦公式时利用了单位圆与平面向量的数量积.cosαcosβ+sinαsinβcos()α-β金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆两角差的余弦公式的简单应用(1)sin7°cos23°+sin83°cos67°的值为()分析:(1)本题考查公式的逆用.如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键.(2)本题考查公式的逆用.如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值,使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键.A.-12B.12C.32D.-32(2)3sinπ12+cosπ12的值为()A.12B.1C.2D.3金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆解析:(1)原式=cos83°cos23°+sin83°sin23°=cos()83°-23°=cos60°=12.选B.(2)原式=232sinπ12+12cosπ12=2cosπ3cosπ12+sinπ3sinπ12=2cosπ3-π12=2cosπ4=2×22=2.选C.答案:(1)B(2)C金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆自测自评1.下列式子中,正确的个数为()①cos()α-β=cosα-cosβ;②cos()α+β=cosα-cosβ;③cos()α-β=cosαcosβ-sinαsinβ;④cos()α+β=cosαcosβ+sinαsinβ.A.0B.1C.2D.3A金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆2.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为()A.0B.12C.32D.-12B金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆3.试应用公式计算:(1)sin80°cos55°+cos80°cos35°;(2)cos80°cos20°+sin100°sin380°.解析:(1)原式=sin80°sin35°+cos80°cos35°=cos()80°-35°=cos45°=22;(2)原式=cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos()80°-20°=cos60°=12.金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆点评:(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征,切忌死记教条.(2)在逆用两角差的余弦公式解题时,要善于进行角的变形,使之符合公式特征.(3)在逆用公式解题时,还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆跟踪训练1.计算:(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°;(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);(3)已知sinα=-45,sinβ=513,且180°<α<270°,90°<β<180°,求cos()α-β.金品质高追求我们让你更放心!•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆解析:(1)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0;(2)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12....