两角差的余弦公式VIP专享VIP免费

金品质高追求我们让你更放心！•◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式三角恒等变换金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆基础梳理一、两角差的余弦公式的推导两角差的余弦公式：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为公共始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，设向量OA→，OB→的夹角0≤α－β≤π，则OA→＝()cosα，sinα，OB→＝()cosβ，sinβ.由向量数量积定义得OA→·OB→＝||OA→||OB→cos()α－β＝cos()α－β，且有OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ，金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆于是得两角差的余弦公式：cos(α-β)＝________.当α，β，α－β为任意角时，该公式也适用．注意：公式的逆用形式为cosαcosβ＋sinαsinβ＝________.公式的推导中要注意如下几何问题：(1)两角差的余弦公式是推导出其他和(差)角三角函数公式的基础，因此在学习上要引起重视．(2)在推导两角差的余弦公式时利用了单位圆与平面向量的数量积．cosαcosβ＋sinαsinβcos()α－β金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆两角差的余弦公式的简单应用(1)sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值为()分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．(2)本题考查公式的逆用．如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值，使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．A．－12B.12C.32D．－32(2)3sinπ12＋cosπ12的值为()A.12B．1C.2D.3金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆解析：(1)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos()83°－23°＝cos60°＝12.选B.(2)原式＝232sinπ12＋12cosπ12＝2cosπ3cosπ12＋sinπ3sinπ12＝2cosπ3－π12＝2cosπ4＝2×22＝2.选C.答案：(1)B(2)C金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆自测自评1．下列式子中，正确的个数为()①cos()α－β＝cosα－cosβ；②cos()α＋β＝cosα－cosβ；③cos()α－β＝cosαcosβ－sinαsinβ；④cos()α＋β＝cosαcosβ＋sinαsinβ.A．0B．1C．2D．3A金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆2．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为()A．0B.12C.32D．－12B金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆3．试应用公式计算：(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.解析：(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos()80°－35°＝cos45°＝22；(2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos()80°－20°＝cos60°＝12.金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆点评：(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记教条．(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式特征．(3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆跟踪训练1．计算：(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(3)已知sinα＝－45，sinβ＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos()α－β.金品质高追求我们让你更放心！•返回返回◆◆数学•数学•必修必修4(•4(•配配人教人教AA版版)◆)◆解析：(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0；(2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12....