吴蓉Ⅰ、观察与思考：下面的几个数列：,105,104,103,102,101,12-,9-,6-,3-,0,310,,9,8,7,6,5,4Ⅱ、问题：从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？,,1,11,1,1,1分析：从第二项起，后一项与前一项的差是：Ⅲ、归纳：这些数列共同特点：是常数1是常数-3是常数1/10,3-,3-,3-,3-,3-,101,101,101,101从第2项起它们的后一项与前一项的差都是同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。一、等差数列的定义：例1：观察下列数列是否是等差数列：,16,11,7,4,2,1:4,3,3,3,3,3,3:3,7,5,3,1,2-,3-:2,12,,108,6,4,2,1:1一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一项与前一项的差都是2。不符合等差数的定义要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数。所以,它不是等差数列。（2）、不是。理由同（1）（3）、是。它符合等差数列的定义。公差是0.通常称作常数列.（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是：1，2，3，4，5，‥‥是常数，但不是同一常数。所以不是。1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差作差。不能颠倒。2、作差的结果要求是同一个常数。同一个常数。可以是整数，也可以是０和负可以是整数，也可以是０和负数。数。二、等差中项二、等差中项若a,b,c三个数成等差数列，这时我们把b叫做a与b的等差中项。因为，b-a=d,c-b=d所以，2b=a+c.即a与b的等差中项是a与b的算术平均数三个数成等差数列，可设这三个数为：a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d你能用a与c表示b吗？等差中项的应用等差中项的应用例：三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.解：假设三个数分别为a,b,c,那么由题意可得a+b+c=12(1)2b=a+c(2)ac=12(3)∴由（1）（2）（3）可得a=2,b=4,c=6.三、等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d，那麽由定义得：a2-a1=d(1)a3-a2=d(2)a4-a3=d(3)a5-a4=d(4)………..an-an-1=d(n-1)等号左边为：an-a1,等号右边为：(n-1)d所以：an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d当n=1时，上式两边都等于a1。∴nN*∈，公式成立。∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn-1个四、通项公式的应用：例2：（1）、已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。（2）、求等差数列10，8，6，4，‥‥的第20项。（3）、-401是不是等差数列–5，-9，-13，‥‥的项？如果是，是第几项？等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n，d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。分析：知道a1,d，求an。代入通项公式。 a1=3,d=2∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n-1解：（1）、已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。（2）、求等差数列8，5，4，‥‥的第20项。分析：根据a1=8，d=5-8=-3，先求出通项公式an，再求出a20解：由题可得a1=8,d=5-8=-3，n=20所以这个数列的通项公式为:an=8+(n-1)×(-3)=11-3n当n=20时,有a20=8+(20-1)×(-3)=-49解： a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1 -401=-4n-1∴n=100∴-401是该数列的第100项。分析：根据a1=-5，d=-4，先求出通项公式an，再把–401代入，然后看是否存在正整数n。（3）、-401是不是等差数列–5，-9，-13，‥‥的项？如果是，是第几项？解：由题意可得a1+4d=10(1)﹛a1+11d=31(2)∴d=2a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。例3：在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31,求首项a1，公差d。分析：此题已知a5=10，n=5；a12=31,n=12分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。***********例4：(1)已知数列{an}的通项公式是an=3n-1，求证：{an}为等差数列；(2)已知数列{an}是等差数列，求证：数列{an+an+1}也是等差数列.【小结】①数列{an}为等差数列an=kn+bk、b是常数.②证明一个数列为等差数列的方法是：证明：an+1-an为一个常数.推广后的通项公式:(n-m)d...
