第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cosB＝()A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③，，；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有()A．①②B．③④C．①③D．②④考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.解：△MEF是等腰直角三角形．连接AM， ∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC. AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA.又 FB＝FD，∴FB＝EA，∴△BFM≌△AEM(SAS)，∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∠AMF＋∠BMF＝90°，∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，∴△MEF是等腰直角三角形．方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是()A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A＝90°－∠CC．∠A＋∠B＝∠CD．∠A－∠C＝90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE.(1)解：图2中△ABE≌△ACD.证明如下： △ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又 AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为xcm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝xcm.在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x)cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3cm.方法总结1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角...
