勾股定理的应用—求立体图形中的最短路径方亭慈济中学：杨启艳例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAAB531512引例：台阶中的最值问题∵AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13.C一、圆柱中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC小心解题哦有一圆形罐头底面圆的半径为6cm，高5cm，一只蚂蚁从距底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？5cm6cmABABC二、正方体中的最值问题例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）√5（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABA1B1D1C1①421AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29.三、长方体中的最值问题怎样才能在最短的时间内，找到长方体表面上两点之间的最短路径？归纳提升：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a＞b＞c，则长方体表面上AB两点的最短路线为22()bca反思回顾，总结提高2+a2（b+c）、2+c2（a+b）2+b2（a+c）、提升：比较提升：比较的大小的大小即比较ab、bc、ac的大小。较短两段取和，最长段独一边41AB=●A●B135AB=10看谁算的快看谁算的快482●●AA●●BB小试牛刀(2008吉林)由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，问在A处的蚂蚁要吃到B处的食物，最短要爬行多长？若食物在C处呢？●●AA●●BB●●CC●●AA●●CC225(42)61AB223(41)34AC●AB●C●●●BB●●AA要注意变式，灵活运用哦(2008吉林)(2008吉林)我能行如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4,BC=4,CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；A备用图•如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要cm．BA6cm3cm1cm巅峰对决1023664nA第1圈第2圈第n圈不下定决心培养思维习惯的人，便失去了生活中最大的乐趣——爱迪生多观察，多思考；多归纳，多总结小结：1、把几何体适当展开成平面图形2、利用“两点之间线段最短”的性质在平面图形上找出两点间的最短路径3、构造直角三角形，利用勾股定理找出最优解
