一元二次方程根的判别式（一）教学目标(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况．教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用．难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解．教学过程设计(一)复习1．请学生在黑板上写出一元二次方程的一般形式。（）强调括号里的条件。2．请学生上黑板写出一元二次方程（）的求根公式。（）强调括号里的条件(二)新课1．由求根公式可知，一元二次方程（）是否有实数根，由的符号确定，因此我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，记为Δ，即Δ＝。注意不是Δ＝，注：“△”读作“delta”。2．判别式定理及其逆定理定理1方程有两个不相等的实数根；定理2方程有两个相等的实数根；定理3方程没有实数根；1/32定理4方程有两个实数根。请学生上黑板填空。例：方程有两个不相等的实数根老师再说明其逆定理也成立。定理的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况．逆定理的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值或取值范围．根的判别式的应用举例1.不解方程，判断方程根的情况。解题步骤：先算出判别式Δ的值，再作出结论。例1不解方程，判断下列关于x的方程根的情况。⑴⑵⑶⑷解：⑴Δ＝，所以原方程有两个不相等的实数根。⑵原方程可化为：，Δ＝，所以原方程有两个相等的实数根。⑶原方程可化为：，Δ＝，所以原方程没有实数根。⑷Δ＝，所以原方程有两个不相等的实数根。特别提醒：应用判别式，必须先将一元二次方程化为一般形式。目的是为了正确的确定的值。例2讨论关于x的方程(m－1)x2＋2mx＋(m－2)＝0的根的情况．分析：因为二次项系数是m－1，有可能为零，所以要分类讨论．解：若m≠1时，原方程是一元二次方程，2/32△＝(2m)2－4(m－1)(m－2)＝4(3m－2)．特别提醒：若关于x的方程的二次项系数含有字母，则要分类讨论，若二次项系数为0。则为一元一次方程，若二次项系数不为0，当二次项系数不为0时，再写出判别式的表达式，若能确认判别式的符号，则写出根的情况的相应结论，若不能确定判别式的符号，则需分类讨论，列出相应不等式，求出字母的范围，再分情况，写出根的情况的相应结论。练习：讨论关于的方程的根的情况。（当，方程有一个实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根）2.根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围。解题步骤：根据题意，利用判别式定理的逆定理得到相应的方程或不等式，再解方程或不等式得到待定系数的值或取值范围。例3取何值时，关于的方程①⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？⑷有两个实数根？⑸有实数根。3/32解：方程的判别式Δ＝，⑴由题意得，又，当，且时，方程有两个不相等的实数根。⑵由题意得，当时，方程有两个相等的实数根。⑶由题意得，当时，方程没有实数根。⑷由题意得，又，当，且时，方程有两个实数根。⑸方程①有实数根，若，则原方程为一元一次方程，，方程有一根实数根，若，则原方程为一元二次方程，方程的判别式Δ＝，得，当，且时，方程有两个实数根。综上所述，当时，方程有实数根。特别提醒：若能确认方程是一元二次方程则隐含二次项系数的条件，解题时不能遗漏，若不能确认是一元二次方程则要分类讨论。注意方程有两个实数根和有实根的区别。例4已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根．解：因为方程有两个相等实数根，所以△＝0，即(k－9)2－8(k2＋3k＋4)＝0，k2－18k＋81－8k2－24k－32＝0，化简，得k2＋6k－7＝0，(k＋7)(k－1)＝0．所以k1＝－7，k＝1．当k＝－7时，原方程为2x2－16x＋32＝0，得x1＝x2＝4；当k＝1时，原方程为2x2－8x＋8＝0，得x1＝x2＝2．例5若关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋(a2＋4a－5)＝0有实数根，试求正整数a的值．4/32分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数．边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2＋2a＋1－a2－4a＋5≥0，－2a＋6≥0，所以a≤3．因为a是正整数，所以a＝1，2...
