BC=1,贝yAC=(C.0.3重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）.fS+7<^4K-21.（3分）若不等式组亠的解集是x>3,则m的取值范围是（）A.m>3B.m>3C.m<3D.mV3解答：解：由x+7V4x-2移项整理得：-3xV-9,•••x>3,vx>m,又•.•不等式组‘..的解集是x>3,•m<3.故选C.2.(3分)如图，在△ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D,使ZBAD=15°,根据三角形内角和定理可求出ZDAC及ZADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可.解答：解:过A作AD交BC于D,使ZBAD=15°,•/△ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,•ZBAC=75°,•ZDAC=ZBAC-ZBAD=75°-15°=60°,•ZADC=90°-ZDAC=90°-60°=30°,•AC=!AD,又•:ZABC=ZBAD=15°「.BD=AD,•/BC=1,•AD+DC=1,设CD=x,2贝yAD=1-x,AC=2（1-x）,•AD2=AC2+CD2,即（1-x）2=（1-x）2+x2,解得：x=-3+2J3,24•AC=3（4-23）=2-g故选B.3.（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为OO的一固定直径，它把OO分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD丄AB,ZOCD的平分线交OO于点P,当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变C.■■■-等分BDB.位置不变D.随C点移动而移动分析：连OP,由CP平分/OCD,得到/1=Z2,而/1=Z3,所以有OPIICD,则OP丄AB,即可得到0P平分半圆APB.解答：解:连OP,如图，TCP平分/OCD,•••/1=Z2,而OC=OP,有/1=Z2=Z3,•••OPIICD,又•••弦CD丄AB,•OP丄AB,•OP平分半圆APB,即点P是半圆的中点.故选B.4.（3分）已知y=Q乂一1+占-x（X,y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A.2\2-1B.4-2\2C.3-2<2D.2\2-2分析：首先把y=t—+拓—两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差.解刊解：Ty=#工-1+05-®，•-y2=4+2右-1彳5-i=4+2—&-3〕—T1-x-5,当x=3时，y的最大值为2■2,当x=1或5时，y的最小值为2,故当x=1或5时，y取得最小值2,_当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2^2-2,故选D.5.（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上.一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图.分析：比题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理.解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因B.6.5圈C.7圈D.8圈C.4个D.5个为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM'上的点（P'）重合，而选项C还原后两个点不能够重合.故选D.点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力.6.（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°,则圆绕三个顶点共旋转了360°,即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈.解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，T等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，•••圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，A圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，•••圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈.故选C.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：1=（n为圆心角，R为半径）；1yij也考查了旋转的性质.7.（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc>0；②bVa+c；③4a+2b+c>0；④2cV3b；⑤a+b>m（am+b）（mH1,m为实数）（）解答：解：①由图象可知：a<0，b>0，c>0...
