数学2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.课标要求数学知识梳理1.等差数列的定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2同一个常数2.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a与b的等差中项,A=2ab.3.等差数列的通项公式和递推公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式an=a1+(n-1)d递推公式an+1-an=d数学自我检测D解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第二项起;②差为同一个常数,故选D.1.(等差数列的概念)下列说法中正确的是()(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列数学A解析:设方程x2-6x+3=0的两根为x1,x2则x1+x2=6,所以x1,x2的等差中项为122xx=3.2.(等差中项的概念)方程x2-6x+3=0的两根的等差中项为()(A)3(B)6(C)-6(D)-3数学B3.(等差数列的公差)等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则该数列的公差d等于()(A)-1(B)-2(C)2(D)3解析:d=an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.故选B.数学解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则112,38,adad解得d=3,a1=-1.所以an=a1+(n-1)d=3n-4.4.(等差数列的通项公式)等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an=.答案:3n-4数学课堂探究等差数列的判定与证明题型一(1)证明:因为bn+1-bn=112na-12na=1442na-12na=22nnaa-12na=222nnaa=12.又b1=112a=12,所以数列{bn}是首项为12,公差为12的等差数列.【例1】已知数列{an}满足a1=4,an=4-14na(n>1),记bn=12na.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.数学(2)解:由(1)知bn=12+(n-1)×12=12n.因为bn=12na,所以an=1nb+2=2n+2.数学题后反思判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:(1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.数学即时训练11:已知数列{an},满足a1=2,an+1=22nnaa.(1)数列{1na}是否为等差数列?说明理由;(2)求an.解:(1)数列{1na}是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=22nnaa,所以11na=22nnaa=12+1na.所以11na-1na=12.即{1na}是首项为11a=12,公差为d=12的等差数列.(2)由上述可知1na=11a+(n-1)d=2n,所以an=2n.数学【备用例1】cn=1,1,25,2,nnn试判断数列{cn}是否为等差数列.解:因为c2-c1=-1-1=-2,n≥2时,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,所以cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义,所以数列{cn}不是等差数列.数学等差数列的通项公式题型二【教师备用】1.从等差数列的通项公式上看,等差数列与一次函数有什么关系?提示:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),当d≠0时,an是关于n的一次函数.2.能不能利用等差数列的通项公式判断其增减性?提示:当d>0时,数列{an}为递增数列;当d=0时,数列{an}为常数列;当d<0时,数列{an}为递减数列.数学解:设等差数列{an}的公差为d,则151601148,5920,aadaad解得164,154.15ad所以an=a1+(n-1)d=6415+415(n-1)=415n+4,所以a75=415×75+4=20+4=24.【例2】若数列{an}是等差数列,且a15=8,a60=20,求a75.数学题后反思在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.数学解:由例题知,am=415m+4,所以1<415m+4<10.即-3<415m<6....
