高三数学（理）第一轮复习：立体几何复习—空间中的垂直关系人教实验B版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学（理）第一轮复习：立体几何复习—空间中的垂直关系人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二.教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三.知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线AB叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面、互相垂直，记作．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。用心爱心专心3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性．4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：5、注意掌握好以下几个相似结论：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行．（2）垂直于同一条直线的两个平面平行．（3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面．★空间中的垂直关系★★【线线垂直的判定】例1.如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在的平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G．求证：AE⊥SB，AG⊥SD．分析：要证AE⊥SB，只要证明AE垂直于SB所在的平面SBC，因SC⊥面AEFG，BC⊥面SAB，所以易得结论．同理要证AG⊥SD，只需证明AG⊥面SDC即可．证明： SA⊥平面ABCD∴SA⊥BC又BC⊥AB，，∴BC⊥平面SAB，又AE平面SAB∴BC⊥AE SC⊥平面AEFG∴SC⊥AE又BC∴AE⊥平面SBC∴AE⊥SB，同理可证AG⊥SD点评：本题的证明过程很具有代表性．即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．证明线线垂直的常用方法有：（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一...