高三数学（理）多面体、立体综合知识精讲人教版一.本周教学内容：多面体、立体综合二.重点、难点：1.2.3.多面体、简单多面体、凸多面体4.正多面体，只有五种（正四、正六、正八、正十二、正二十）5.欧拉公式：【典型例题】[例1]某简单几何体，由16个三角形围成，则这个几何体有个顶点。解：F=16∴[例2]某简单几何体，由三角形围成，有10个顶点，其中四个顶点引出四条棱，6个顶点引出三条棱，则这个几何体有个面。解：V=10F=9[例3]正四面体ABCD，棱长均为，则高=，体积，侧棱与底面所成角，侧面与底面所成角，内切球半径，外接球半径，AB、CD的距离。解：E为BC中点，H为垂心∴∴解依次为：，，，，，，[例4]半径为1的球的内接正四棱柱的体积的最大值。解：设底面边长为，高为∴用心爱心专心116号编辑∴时，[例5]直三棱柱中，AC=BC=AA1=2，，E、F、G为AC、AA1、AB中点，求证：（1）面EFG；（2）求异面直线FG与AC1所成角；（3）求三棱锥的体积。解：（1）面EFG（2）D为A1C1中点∴∴为与GF所成的角∴与GF所成角为（3）（，面EFG）（A，面GEF）∴（A，面GEF）=∴（，面GEF）=∴[例6]四棱锥棱长均为1，，并且面EAC//PB。（1）求二面角；（2）求CE与底面所成角；用心爱心专心116号编辑（3）求AB、CE所成角；（4）求四面体EPBC的体积。解：面ABCD∴连EH∴E为PD中点（1）二面角即二面角为（2）F为DH中点，连EF∴EF//PH∴EF⊥面ABCD为所求EC∴（3）AB、CE所成角为（4）[例7]等腰梯形ABCD中，CD=12，AB=20，高为，MN为上下底边的垂直平分线，沿MN折成二面角。（1）求AC、MN所成角；（2）求AE、MN距离；（3）求AC与面ADMN所成角。解：（1）过C作CE⊥DN于E∴CE//MN∴为所求NE=6AE=14CE=MN=（2）过N作NF⊥AE于F，NF为MN、AE公垂线∴（3）于H∴CH⊥面ADMN为所求用心爱心专心116号编辑CH=AC=16[例8]矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1。（1）为何值时，BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；（2）当BC上有且仅有一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角。解：（1）面PAQBC上存在点Q以AD为直径的圆与BC有交点∴（2）由上，时，仅有一点∴Q为BC中点，E为AD中点，连QE//AB∴QE⊥面PAD过E作EH⊥PD于H∴为二面角平面角QE=1EH=【模拟试题】（答题时间：45分钟）1.下列命题①多面体的面数量少为4，②正多面体只有5种，③凸多面体是简单多面体，④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体，其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.正十二面体和正二十面体的棱数分别是（）A.29，30B.30，30C.30，31D.32，353.其正棱锥的底面边长与侧面棱长相等，则该棱锥一定不是（）A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥4.下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）ABCD5.一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为（）A.B.C.D.用心爱心专心116号编辑6.正四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于（）A.B.C.D.7.一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则等于（）A.4B.5C.6D.78.已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子（这四个氢原子构成一个正四面体的四个顶点），设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为，则等于（）A.B.C.D.9.若一个简单多面体的各个顶点有三条棱，则=。10.体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是。11.以正四面体、正六面体、正八面体的各面的中心为顶点的多面体分别是。12.下列命题：①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体都是简单多面体；④一个几何体表面，经过连结变形为球面的就叫简单多面体，其中正确的命题是（注：把你认为正确的命题序号都填上）。13.连接正方体相邻面的中心，得一个正八面体，那么这个正八面体与正方体体积之比为。用心爱心专心116号编辑[参考答案]1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.C8.A9.410.11.正四、正八、正六面体12.①②③④13.用心爱心专心116号编辑
